Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Do 23.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Hallo mal wieder,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe leider arge Verständnisprobleme beim Thema Substitution. Sehr oft finde ich Aufgaben, in denen man eine Differenzialgleichung zunächst substituieren muss (z.B. mit z = y(x) / x) und anschließend per Trennung der Variablen löst.
Dabei verstehe ich eigentlich den Rechenschritt nicht, den man bei der Substitution durchführt. Also weder, warum man das eigentlich macht, noch (und ich glaube das ist mein Hauptproblem), wie man das genau rechnet.
Ich habe 2 Beispiele, eins aus einer alten Klausur, eins aus diesem Forum:
1.
[mm] y' = \bruch{y + \wurzel{x^2 + y^2}}{x} [/mm]
(Dazu habe ich leider nicht die Lösung)
2.
[mm] y' = \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}-x} [/mm]
wird substituiert zu
[mm] u' = \bruch{u}{x(\wurzel{u^2+1)-1}} - \bruch{u}{x} [/mm]
Vielleicht bin ich blind, aber ich verzweifle langsam daran. Es wäre sehr nett, wenn mir das mal jemand erklären könnte. (Es geht wirklich nur um die Substitution, der Rest der Aufgabe ist zunächst nicht wichtig)
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Hallo Cisc0,
Das warum ist ganz einfach - Um die DGL nach der Substitution lösen zu können was nat. nicht unbedingt klappen muß
Das Verfahren ist
1. Substituieren
2. substituierte DGL lösen( hier mittels "Trennung der Veränderlichen")
3. zurücksubstituieren
Ergebnis: Man hat die ursprüngliche DGL gelöst.
Praktische Durchführung :
[mm] z=\bruch{y}{x}
[/mm]
x*z=y
einmal ableiten
z+x*z'=y'
Jetzt kannst Du für y' deine DGL einsetzen und gleichzeitig überall wo y steht x*z einsetzen.
Jetzt sollten beide DGL mit TdV lösbar sein.
viel Spass dabei!
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 23.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Okay, zunächst mal vielen Dank für die schnelle Antwort, ich glaube sie enthielt tatsächlich das was ich die ganze Zeit gesucht habe ;)
Machen wir das dochmal an einem konkreten Beispiel:
[mm] y' = \bruch{2xy}{x^2-y^2} [/mm]
Los geht's:
Substituiere u = y/x <=> y = ux <=> y' = u + xu'
Damit folgt
[mm] u + xu' = \bruch{2xux}{x^2-ux^2} = \bruch{2u}{1-u^2} [/mm]
[mm] <=> xu' = \bruch{2u}{1-u^2} - u = \bruch{u+u^3}{1-u^2} [/mm]
Wenn ich alles richtig verstehe, habe ich diese Umformung gemacht um jetzt mal langsam die Variablen zu trennen, oder? Leider bleib ich hier dann wieder stehen. Ich weiß, dass das Ziel jetzt wäre, auf der einen Seite nur x und auf der anderen Seite nur u zu haben und dann beide Seiten zu integrieren. Aber wie krieg ich das hier hin? Insbesondere stört mich dabei das u' auf der linken Seite..
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Hallo Cisc0!
Ersetze $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx}$ [/mm] . Anschließend multipliziere diese Gleichung mit dem Kehrwert des Bruches auf der rechten Seite sowie mit dem Term [mm] $\bruch{dx}{x}$ [/mm] :
[mm] $\blue{\integral}{\bruch{1-u^2}{u+u^3} \ du} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{1}{x} \ dx}$
[/mm]
Um nun den Bruch auf der linken Seite integrieren zu können, musst Du eine Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $\bruch{1-u^2}{u+u^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-u^2}{u*\left(1+u^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{u}+\bruch{B*u+C}{1+u^2} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 23.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Okay, zunächst mal vielen Dank für eure Mühe.
Oje Partialbruchzerlegung hab ich seit dem ersten Semester nicht mehr gebraucht..
Woher kommt dieser Ansatz für die PBZ?
[mm] $\bruch{1-u^2}{u+u^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-u^2}{u*\left(1+u^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{u}+\bruch{B*u+C}{1+u^2} [/mm] \ = \ ...$
(Ich hab das eigentlich noch nie gekonnt, aber ich kannte das nur mit A, B, C im Zähler und bei jedem Bruch nur eins davon, woher kommt hier das u und das C?)
Wenn ich diese PBZ versuche zu lösen, komme ich auf A=1, B=-2, C=0, was erstens nicht richtig sein kann und zweitens mich der Lösung kaum näher bringt.
Ansonsten habt ihr mir zumindest schonmal beim Verständnis der Subsitution echt weitergeholfen!
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Hallo cisco,
du brauchst nicht unbedingt eine partialbruchzerlegung, geschickte umformung tut es in diesem Fall auch:
$ [mm] {\integral}{\bruch{1-u^2}{u+u^3} \ du} [/mm] \ = [mm] {\integral}{\bruch{1 +u^2 -2u^2}{u(1+u^2)} \ du}=\integral{\bruch{1}{u}du} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{2u}{1+u^2}du}$
[/mm]
Diese beiden Teilintegrale kannst Du elementar lösen.
VG
Matthias
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