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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Do 28.05.2009
Autor: itse

Aufgabe
Integriere per Substitution:

[mm] \int_{0}^{0,5} [/mm] x [mm] \cdot{} \wurzel{1-x²}\, [/mm] dx

(Tipp: x = sin u)

Hallo,

ich habe also zunächst substituiert:

[mm] \int_{0}^{0,5} [/mm] x [mm] \cdot{} \wurzel{1-x²}\, [/mm] dx

x = sin u

[mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = cos u -> dx = cos u du

[mm] \wurzel{1-x²} [/mm] = cos u

Integrationsgrenzen mitsubstituieren:

x = sin u -> u = arcsin(x)

x = 0,        u = 0

x = 0,5,     u = [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm]


$= [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] u [mm] \cdot{} cos²u\, [/mm] du = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] u [mm] \cdot{} \bruch{1}{2} \left[ 1+cos(2u) \right] \, [/mm] du =   [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u\, [/mm] du +  [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} [/mm]  sin u [mm] \cdot{} cos(2u)\, [/mm] du = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [-cos u] +  [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} [/mm]  sin u [mm] \cdot{} cos(2u)\, [/mm] du$

Wie würde es denn weitergehen, für den Term:  sin u [mm] \cdot{} [/mm] cos(2u)? Ich habe schon Substitution und partielle Integration probiert, es scheitert immer an denn verschiedenen Argumenten.

Grüße
itse

        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 28.05.2009
Autor: Martinius

Hallo itse,

> Integriere per Substitution:
>  
> [mm]\int_{0}^{0,5}[/mm] x [mm]\cdot{} \wurzel{1-x²}\,[/mm] dx
>  
> (Tipp: x = sin u)
>  Hallo,
>  
> ich habe also zunächst substituiert:
>  
> [mm]\int_{0}^{0,5}[/mm] x [mm]\cdot{} \wurzel{1-x²}\,[/mm] dx
>  
> x = sin u
>  
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = cos u -> dx = cos u du
>  
> [mm]\wurzel{1-x²}[/mm] = cos u
>  
> Integrationsgrenzen mitsubstituieren:
>  
> x = sin u -> u = arcsin(x)
>  
> x = 0,        u = 0
>  
> x = 0,5,     u = [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
>
> [mm]= \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u \cdot{} cos²u\, du = \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u \cdot{} \bruch{1}{2} \left[ 1+cos(2u) \right] \, du = \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u\, du + \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} sin u \cdot{} cos(2u)\, du = \bruch{1}{2} [-cos u] + \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} sin u \cdot{} cos(2u)\, du[/mm]
>  
> Wie würde es denn weitergehen, für den Term:  sin u [mm]\cdot{}[/mm]
> cos(2u)? Ich habe schon Substitution und partielle
> Integration probiert, es scheitert immer an denn
> verschiedenen Argumenten.
>  


Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:

[mm] $\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] (u) [mm] \cdot{} [/mm] cos(u) [mm] \, [/mm] du $

>  itse


LG, Martinius


Bezug
                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Do 28.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Martinius,

> Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:
>  
> [mm]\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin (u) \cdot{} cos(u) \, du[/mm]

Nein, das war schon richtig, hast du etwa das [mm] $dx=\cos(u) [/mm] \ du$ unterschlagen?

Es kommt in der Tat [mm] $\int{\sin(u)\cos^2(u) \ du}$ [/mm] heraus!

>  
> >  itse

>
>
> LG, Martinius
>  


LG

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Do 28.05.2009
Autor: Martinius

Hallo schachuzipus,

> Hallo Martinius,
>  
> > Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:
>  >  
> > [mm]\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin (u) \cdot{} cos(u) \, du[/mm]
>  
> Nein, das war schon richtig, hast du etwa das [mm]dx=\cos(u) \ du[/mm]
> unterschlagen?


Da habe ich mich der Unterschlagung schuldig gemacht. Sorry.

LG, Martinius

Bezug
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Do 28.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo itse,

ich habe deine Grenzen nicht nachgerechnet, aber das substituierte Integral stimmt

Also [mm] $\int{\sin(u)\cos^2(u) \ du}$ [/mm]

Hier substituiere nochmal mit [mm] $z:=\cos(u)$ [/mm] und es klappt wunderbar einfach ...

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Do 28.05.2009
Autor: itse

Hallo,

also nochmals substituieren

$ = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin(u) \cdot{} cos²(u)\, [/mm] du$

z = cos(u)

du = [mm] \bruch{dz}{-sin(u)} [/mm]

$ = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} \bruch{sin(u) \cdot{} z²}{-sin(u)}\, [/mm] dz = - [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} z²\, [/mm] dz$ = [mm] -\bruch{1}{3}z^3 [/mm] + C

Da ich die Integrationsgrenzen mitsubstituiert habe, folgt dann als Zahlenwert für das bestimmte Integral

[mm] -\bruch{1}{3}(\bruch{\pi}{6})^3 [/mm] + 0 = -0,047


Stimmt dies? Oder muss ich bei jeder Substitution die Integrationsgrenzen mitsubstituieren, dann würde sich ergeben:

z = cos(u) -> u = arccos(z)

untere Grenze: z = 0, u = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]

obere Grenze: z = [mm] \bruch{\pi}{6}, [/mm] u [mm] \approx [/mm] 1,02

[mm] -\bruch{1}{3}(1,02)^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}(\bruch{\pi}{2})^3 [/mm] = 0,938



Würde ich nun rücksubstituieren:

z = cos(u) = [mm] \wurzel{1-x²} [/mm]

-> [mm] -\bruch{1}{3} \wurzel{(1-x²)^3} [/mm] + C

Müsste ich doch für die Integrationsgrenzen 0 und 0,5 einsetzen?

Bezug
                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Do 28.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, [mm] -\bruch{1}{3}z^{3} [/mm] ist korrekt, es ist immer günstig, erst am Ende die Rücksubstitution zu machen, dann hast du nicht den Trappel mit den Grenzen, du kannst 0,5 und 0 einsetzen,

1. Rücksubstitution:
z=cos(u)
somit hast du
[mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}(u) [/mm]

2. Rücksubstitution:
x=sin(u)
u=arcsin(x)
[mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(x)] [/mm]

jetzt kommen die obere Grenze 0,5 und untere Grenze 0 ins Spiel

obere Grenze 0,5: [mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(0,5)]\approx-0,216506351 [/mm]

untere Grenze 0: [mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(0)]=-\bruch{1}{3} [/mm]

Bildung der Differenz: [mm] \approx0,116826982 [/mm]

Steffi




Bezug
        
Bezug
Substitution: warum so umständlich?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 28.05.2009
Autor: Loddar

Hallo itse!


Was spricht hier gegen die Substitution: $u \ := \ [mm] 1-x^2$ [/mm] .

Damit bist Du ruck-zuck am Ziel.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Do 28.05.2009
Autor: itse

Natürlich hast du Recht, aber bei der Aufgabe ist ein "Tipp" angegeben. Somit komme ich nicht drum herum, es so zu machen.

Gruß
itse

Bezug
                        
Bezug
Substitution: kann - muss man aber nicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 Do 28.05.2009
Autor: Loddar

Hallo itse!


Einen "Tipp" kann ich befolgen, muss ich aber nicht.

Anders wäre es, wenn die Aufgabenstellung fordern würde: "Lösen Sie so und so ...".
[meinemeinung]


Gruß
Loddar


Bezug
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