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| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{((tan(x))^2+(tan(x))^4)dx}
[/mm]
Bitte geben sie den Wert auf vier Nachkommastellen gerundet an. |
Hallo.
Ich soll oben genannte Aufgabe berechnen.
Mein Lösungsweg ist etwas länger geworden und ich bin mir nicht sicher ob ich Fehler gemacht habe.
Die Grenzen lasse ich zunächst weg wegen der Schreibarbeit.
Meine Rechnung:
[mm] \integral{((tan(x))^2+(tan(x))^4)dx}
[/mm]
[mm] =\integral{(tan(x))^2}+\integral{(tan(x))^4}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (tan(x))^2=(\bruch{sin(x)}{cos(x)})^2=\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}
[/mm]
Nebenrechnung 2:
[mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] tan^2(x)=\bruch{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1}{cos(x^2)}-\bruch{cos^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1}{cos^2(x)}-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Hauptrechnung 1:
[mm] \integral{tan^2(x)dx}=\integral{\bruch{1}{cos^2{x}}-1dx}=\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}dx}-\integral{1dx}=
[/mm]
tan(x)-x
Das abgeleitet mit Umformung ergibt wiederum [mm] tan^2(x)
[/mm]
Nebenrechnung 3:
Hier wirds kniffelig
[mm] tan^4(x)=\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}*\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{cos^2(x)}-1)*(\bruch{1}{cos^2(x)}-1)
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{cos^2(x)})^2-\bruch{2}{cos^2(x)}+1
[/mm]
Für die Hauptrechnung folgt:
[mm] \integral{tan^4(x)dx}=\integral{(\bruch{1}{cos^2(x)})^2dx}-\integral{\bruch{2}{cos^2(x)}dx}+\integral{1dx}
[/mm]
Wobei gilt:
[mm] (1)\integral{1dx}=x
[/mm]
[mm] (2)=\integral{\bruch{2}{cos^2}dx}=2\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}dx}=2tan(x)
[/mm]
Und (3):
[mm] \integral{(\bruch{1}{cos^2(x)})^2dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{(\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}
[/mm]
Substitution:
u=tan(x)
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}
[/mm]
[mm] dx=du*cos^2(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{(1+u^2)*\bruch{1}{cos^2(x)}du(cos^2(x))dx}=\integral{1+u^2du}
[/mm]
[mm] =\integral{1du}+\integral{u^2du}
[/mm]
[mm] =u+\bruch{1}{3}u^3
[/mm]
Resubstituieren
[mm] tan(x)+\bruch{1}{3}(tan(x))^3
[/mm]
Also ist [mm] \integral{tan^2(x)+tan^4(x)}=tan(x)-x-2tan(x)+x+tan(x)+\bruch{1}{3}tan^3(x)=\bruch{1}{3}tan^3(x)
[/mm]
Ich weiß das die Rechnung ziemlich groß ist, aber irgendwie ist mir nichts anderes eingefallen, weshalb ich einfach mal umgeformt habe.
Aber [mm] \bruch{1}{3}(tan(x)^3\not=tan^2(x)+tan^4(x)
[/mm]
Also habe ich irgendwo einen Fehler gemacht.
Könntet ihr bei Gelegenheit die hier dargestellte Rechnung kontrollieren?
Ich wäre sehr dankbar.
Eine Alternative zu dieser Lösung möchte ich gerade nicht, da ich sie mir selbst erarbeiten möchte.
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{((tan(x))^2+(tan(x))^4)dx}[/mm]
>
> Bitte geben sie den Wert auf vier Nachkommastellen gerundet
> an.
> Hallo.
>
> Ich soll oben genannte Aufgabe berechnen.
> Mein Lösungsweg ist etwas länger geworden und ich bin
> mir nicht sicher ob ich Fehler gemacht habe.
> Die Grenzen lasse ich zunächst weg wegen der
> Schreibarbeit.
> Meine Rechnung:
>
> [mm]\integral{((tan(x))^2+(tan(x))^4)dx}[/mm]
> [mm]=\integral{(tan(x))^2}+\integral{(tan(x))^4}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> [mm]tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> [mm]\Rightarrow (tan(x))^2=(\bruch{sin(x)}{cos(x)})^2=\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}[/mm]
>
> Nebenrechnung 2:
> [mm]sin^2(x)=1-cos^2(x)[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]tan^2(x)=\bruch{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1}{cos(x^2)}-\bruch{cos^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1}{cos^2(x)}-1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Hauptrechnung 1:
>
> [mm]\integral{tan^2(x)dx}=\integral{\bruch{1}{cos^2{x}}-1dx}=\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}dx}-\integral{1dx}=[/mm]
> tan(x)-x
> Das abgeleitet mit Umformung ergibt wiederum [mm]tan^2(x)[/mm]
>
> Nebenrechnung 3:
> Hier wirds kniffelig
>
> [mm]tan^4(x)=\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}*\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}[/mm]
> [mm]=(\bruch{1}{cos^2(x)}-1)*(\bruch{1}{cos^2(x)}-1)[/mm]
> [mm]=(\bruch{1}{cos^2(x)})^2-\bruch{2}{cos^2(x)}+1[/mm]
>
> Für die Hauptrechnung folgt:
>
> [mm]\integral{tan^4(x)dx}=\integral{(\bruch{1}{cos^2(x)})^2dx}-\integral{\bruch{2}{cos^2(x)}dx}+\integral{1dx}[/mm]
>
> Wobei gilt:
> [mm](1)\integral{1dx}=x[/mm]
>
> [mm](2)=\integral{\bruch{2}{cos^2}dx}=2\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}dx}=2tan(x)[/mm]
>
> Und (3):
>
> [mm]\integral{(\bruch{1}{cos^2(x)})^2dx}[/mm]
> [mm]=\integral{\bruch{1}{cos^2(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{(\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1*\bruch{1}{cos^2(x)}dx}[/mm]
>
> Substitution:
> u=tan(x)
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]
> [mm]dx=du*cos^2(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral{(1+u^2)*\bruch{1}{cos^2(x)}du(cos^2(x))dx}=\integral{1+u^2du}[/mm]
> [mm]=\integral{1du}+\integral{u^2du}[/mm]
> [mm]=u+\bruch{1}{3}u^3[/mm]
>
> Resubstituieren
> [mm]tan(x)+\bruch{1}{3}(tan(x))^3[/mm]
>
> Also ist
> [mm]\integral{tan^2(x)+tan^4(x)}=tan(x)-x-2tan(x)+x+tan(x)+\bruch{1}{3}tan^3(x)=\bruch{1}{3}tan^3(x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
>
> Ich weiß das die Rechnung ziemlich groß ist, aber
> irgendwie ist mir nichts anderes eingefallen, weshalb ich
> einfach mal umgeformt habe.
> Aber [mm]\bruch{1}{3}(tan(x)^3\not=tan^2(x)+tan^4(x)[/mm]
> Also habe ich irgendwo einen Fehler gemacht.
Fehler hast Du keinen gemacht.
[mm]tan^2(x)+tan^4(x)[/mm] ist der Integrand
und [mm]\bruch{1}{3}( \ tan(x) \ )^3[/mm] ist dazu eine Stammfunktion
>
> Könntet ihr bei Gelegenheit die hier dargestellte Rechnung
> kontrollieren?
> Ich wäre sehr dankbar.
> Eine Alternative zu dieser Lösung möchte ich gerade
> nicht, da ich sie mir selbst erarbeiten möchte.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Matherpower.
Danke für die Kontrolle.
Ich hatte bei der Ableitung der Stammfunktion etwas übersehen.
Na dann freue ich mich doch umso mehr das es richtig ist.
Sollte ich eine leichtere Integralrechnung finden, so stelle ich den Ansatz dann hier hinein(als Frage denke ich:) )
Liebe Grüße
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Es gilt ja [mm]\tan' = 1 + \tan^2[/mm], woraus folgt: [mm]\tan^2 + \tan^4 = \left( 1 + \tan^2 \right) \cdot \tan^2 = \tan' \cdot \tan^2[/mm]
Und somit bekommst du sofort
[mm]\int \left( \tan^2 x + \tan^4 x \right) ~ \mathrm{d} x = \int \tan^2 x \cdot \tan' x ~ \mathrm{d} x = \int \tan^2 x ~ \mathrm{d} (\tan x) = \frac{1}{3} \tan^3 x[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 13.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Zu deiner Rechnung:
Wofür steht denn tan'.
Eigentlich substituierst du doch nur das [mm] tan^2+1
[/mm]
Wenn du aber tan'ableitest also [mm] tan^2+1 [/mm] erhälst du dennoch [mm] \bruch{1}{cos^2}.
[/mm]
Deinen Rechenweg kann ich nicht ganz nachvollziehen:
[mm] \integral{tan^2(x)*tan'(x)dx}.
[/mm]
Wie kommt man denn von [mm] tan^2(x)+1=tan'(x)
[/mm]
Mir wird die Bedeutung des kleinen Striches nicht bewusst.
Handelt es sich um eine Ableitung oder was soll dieser Strich darstellen?
Und wie kommst du von tan'(x)dx auf d(tan(x)) in [mm] \integral{tan^2(x)*d(tan(x)}?
[/mm]
Viele Grüße und danke im Voraus.
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[mm]f'[/mm] ist die Ableitung von [mm]f[/mm], also konkret für [mm]f=\tan[/mm] ist [mm]\tan'[/mm] die Ableitung von [mm]\tan[/mm]. Und daß der Tangens [mm]1 + \tan^2[/mm] als Ableitung besitzt, ist bekannt, kann aber sofort nachgerechnet werden, indem man auf die Definition des Tangens die Quotientenregel anwendet.
Die Rechnung selbst ist die Anwendung der Substitutionsregel mit [mm]u = \tan x[/mm], womit sich [mm]\mathrm{d}u = \mathrm{d}(\tan x) = \left( 1 + \tan^2 x \right)~\mathrm{d}x[/mm] ergibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort :).
Ich habe diese Substituionsmethode von Integralen vorher noch nicht angewendet deswegen war ich von der Schreibweise etwas verwirrt.
Jetzt hat es sich geklärt.
Vielen Dank :)
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