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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Do 02.02.2012
Autor: kullinarisch

Aufgabe
Bestimme [mm] \integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}} dx} [/mm]

Hallo. Ich habe x=sinh(t) substituiert:

[mm] \integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}}dx} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{cosh(t)cosh(t)dt} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}})dt [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}dt+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}\bruch{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t})}dt [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{cosh(2t)}dt [/mm]

Angenommen ich habe bis hier keinen Fehler gemacht, wie geht es dann weiter?

Die Stammfunktion zu cosh(2t) ist doch [mm] \bruch{sinh(2t)}{2}. [/mm] Das Ergebnis sollte aber lauten:

[mm] \bruch{1}{2}(x\wurzel[]{1+x^2}+arcsinh(x)) [/mm]

wie komme ich dort hin?

Grüße, kullinarisch

        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 02.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme [mm]\integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}} dx}[/mm]
>  Hallo. Ich
> habe x=sinh(t) substituiert:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel[]{1+x^{2}}dx}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{}^{}{cosh(t)cosh(t)dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t}})dt[/mm]

>
>

> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}dt+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}\bruch{1}{2}(e^{2t}+e^{-2t})}dt[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{cosh(2t)}dt[/mm]
>  
> Angenommen ich habe bis hier keinen Fehler gemacht, wie
> geht es dann weiter?

Bis hierher ist meiner Ansicht nach alles richtig.

> Die Stammfunktion zu cosh(2t) ist doch [mm]\bruch{sinh(2t)}{2}.[/mm]
> Das Ergebnis sollte aber lauten:

Auch das ist richtig.

> [mm]\bruch{1}{2}(x\wurzel[]{1+x^2}+arcsinh(x))[/mm]
>  
> wie komme ich dort hin?

Das Problem ist beim Rücksubstituieren der Ausdruck

sinh(2*arsinh(t))

Ich denke, da hilft im Zweifelsfall nur, die sinh-Funktion auszuschreiben und Potenzgesetze anzuwenden. Denn irgendwie muss aus der 2 ja wieder eine Wurzel werden...

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Do 02.02.2012
Autor: Blech

Hi,


1. [mm] $\sinh(2t)=2\cosh(t)\sinh(t)$ [/mm]

2. [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$ [/mm]

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Do 02.02.2012
Autor: kullinarisch

Okay mit [mm] \sinh(2t)=2\cosh(t)\sinh(t) [/mm] ist es klar. Nach Einsetzen erhalte ich dann [mm] x\wurzel[]{1+x^{2}}, [/mm] vielen Dank.
Ich kann mir nur all diese Additionstheoreme nicht merken, in der Klausur bin ich aufgeschmissen. Es sei denn, ich kann ohne Punktabzug mein letztes Ergebnis so stehen lassen.

Grüße, kulli

Bezug
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