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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 Mo 30.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe hier einen 2-seitigen englischsprachigen Text über
![[]](/images/popup.gif) Substitution in bedingten Erwartungswerten
Dort ist relativ zu Beginn des Textes ein Gegenbeispiel dafür gegeben, daß aus (i) nicht (ii) folgt.
Die Annahmen dieses Beispiels sind:
(1) $f=0$
(2) [mm] $g(y,\eta)=\begin{cases}1, & \mbox{falls }y=\eta\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
(3) Jede einelementige Teilmenge [mm] $\left\{\eta\right\}\subset [/mm] Y$ sei [mm] $\mathcal{B}$-meßbar.
[/mm]
Ich bekomme es nicht ganz hin zu zeigen, daß dies tatsächlich ein Gegenbeispiel ist.
Kann mir dabei jemand helfen, bitte? |
Zu (i):
[mm] $g(y,\eta)$ [/mm] ist in $y$ [mm] $\mathcal{B}$-meßbar, [/mm] denn:
[mm] $g^{-1}(0)=\left\{(y,\eta):y\neq \eta\right\}$ [/mm] und die erste Komponente all dieser Elemente liegt in [mm] $\mathcal{B}$, [/mm] da einelementige Teilmengen von $Y$ nach Voraussetzung [mm] $\mathcal{B}$-meßbar [/mm] sind.
Ebenso gilt dies für alle Elemente der Menge [mm] $g^{-1}(1)=\left\{(y,\eta):y=\eta\right\}$.
[/mm]
Bleibt noch zu zeigen, daß
[mm] $\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=\int_{T^{-1}B}f(x,\eta)\, dP~\forall~B\in\mathcal{B}$.
[/mm]
Das rechte Integral ist immer 0, da $f=0$.
Es ist also zu zeigen, daß
[mm] $\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=0~\forall~B\in\mathcal{B}$.
[/mm]
Für den Fall, daß [mm] $T(x)=y\neq\eta$ [/mm] ist das klar, da dann [mm] $g(T(x),\eta)=0$.
[/mm]
Aber was ist, wenn [mm] $T(x)=y=\eta$?
[/mm]
Dann hat man
[mm] $\int_{T^{-1}B}1\, dP=\int_{T^{-1}B}\, [/mm] dP$
Ich komme nicht darauf, wieso dieses Integral 0 ist.
Sieht das jemand?
(ii) lasse ich daher erstmal weg.
Und noch eine Frage (so nebenbei):
Wieso wird dieses [mm] $g(y,\eta)$ [/mm] eigentlich zweidimensional eingeführt.
Wieso nicht einfach $g(y)$ als faktorisierte bedingte Erwartung von $f(x)$, gegeben $T(x)=y$?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:15 Di 31.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich habe zu dem verlinkten Text mal zwei Skizzen zu (i) und (ii) gemacht. Und meine weiteren Gedanken aufgeschrieben.
Habe ich die Fragestellung richtig aufgefasst? |
Anhang Nr. 1 soll die Situation bei (i) beschreiben.
Anhang Nr. 2 soll die Situation bei (ii) beschreiben.
Ich habe die Fragestellung nun so verstanden:
Folgt aus (i) immer (ii)?
Das heißt: Kann man die zweite Koordinate von $f(x,y)$ substituieren?
Schließlich hat man bei (i) (s. Skizze) die zweite Koordinate doch fixiert (und sie beliebig ausgesucht) und dann nicht weiter einbezogen bzw. verändert. Dann müsste man doch $T(x)$ durch $y$ ersetzen dürfen?! Denn $T(x)$ ist ja auch ein Element von $Y$.
Das heißt:
Kann man einfach in (i) setzen:
[mm] $\eta=T(x)=y$?
[/mm]
Intuitiv würde man, wie gesagt, meinen, dass das i.O. ist.
Die Antwort muss jedoch lauten: NEIN, im Allgemeinen folgt aus (i) nicht (ii).
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Habe ich die Situation(en) in (i) und (ii) sowie die Fragestellung des Artikels richtig verstanden?
Viele liebe Grüße!
Dennis
PS. Danke für jede Mühe, ich bin im Moment nämlich ein bisschen unsicher und aufgeschmissen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 31.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das Doofe an meiner Frage ist, dass man erst den zweiseitigen Text anlesen muss. Sorry... ich hoffe, das geht okay.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 02.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Hallo, ich habe hier einen 2-seitigen englischsprachigen
> Text über
>
> Substitution in bedingten Erwartungswerten
>
>
> Dort ist relativ zu Beginn des Textes ein Gegenbeispiel
> dafür gegeben, daß aus (i) nicht (ii) folgt.
>
> Die Annahmen dieses Beispiels sind:
>
> (1) [mm]f=0[/mm]
>
> (2) [mm]g(y,\eta)=\begin{cases}1, & \mbox{falls }y=\eta\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> (3) Jede einelementige Teilmenge [mm]\left\{\eta\right\}\subset Y[/mm]
> sei [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar.
>
>
>
> Ich bekomme es nicht ganz hin zu zeigen, daß dies
> tatsächlich ein Gegenbeispiel ist.
>
>
> Kann mir dabei jemand helfen, bitte?
>
> Zu (i):
>
> [mm]g(y,\eta)[/mm] ist in [mm]y[/mm] [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar, denn:
>
> [mm]g^{-1}(0)=\left\{(y,\eta):y\neq \eta\right\}[/mm] und die erste
> Komponente all dieser Elemente liegt in [mm]\mathcal{B}[/mm], da
> einelementige Teilmengen von [mm]Y[/mm] nach Voraussetzung
> [mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar sind.
>
> Ebenso gilt dies für alle Elemente der Menge
> [mm]g^{-1}(1)=\left\{(y,\eta):y=\eta\right\}[/mm].
>
>
> Bleibt noch zu zeigen, daß
>
> [mm]\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=\int_{T^{-1}B}f(x,\eta)\, dP~\forall~B\in\mathcal{B}[/mm].
>
> Das rechte Integral ist immer 0, da [mm]f=0[/mm].
>
> Es ist also zu zeigen, daß
>
> [mm]\int_{T^{-1}B}g(T(x),\eta)\, dP=0~\forall~B\in\mathcal{B}[/mm].
>
> Für den Fall, daß [mm]T(x)=y\neq\eta[/mm] ist das klar, da dann
> [mm]g(T(x),\eta)=0[/mm].
>
> Aber was ist, wenn [mm]T(x)=y=\eta[/mm]?
>
> Dann hat man
>
> [mm]\int_{T^{-1}B}1\, dP=\int_{T^{-1}B}\, dP[/mm]
>
> Ich komme nicht darauf, wieso dieses Integral 0 ist.
>
in dem Paper steht außerdem drin, dass das induzierte Maß der Menge [mm] $\{ \eta \}$ [/mm] 0 ist. Es gilt also [mm] $P\left(x \in X \; \middle| \; T(x)=\eta\right)=0$(so [/mm] ist das denke ich gemeint, anders macht das für mich keinen Sinn).
Daraus folgt dann für beliebiges $B [mm] \in \mathcal{B}$:
[/mm]
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(B)} 1_{\{T(x)=y=\eta\}} \mathrm{d}P=P\left( \{x \in X \; \middle| \; T(x) \in B\} \cap \{x \in X \; | \; T(x)=\eta\} \right)=0$,
[/mm]
weil eine Nullmenge in Schnitt mit eingeht. Soweit erstmal zur ersten Frage.
>
>
> Sieht das jemand?
>
>
>
> (ii) lasse ich daher erstmal weg.
>
>
Nun zur zweiten Frage:
Zuerst sieht man, dass $g(y,y)=1$ ist für alle $y [mm] \in [/mm] Y$, somit ist die [mm] $\mathcal{B}$-messbarkeit [/mm] kein Problem.
Offenbar ist für beliebiges $ B [mm] \in \mathcal{B}$
[/mm]
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(B)}f(x,T(x)) \; \mathrm{d}P=0$
[/mm]
wegen der Definition von $f$.
Allerdings ist
[mm] $\int\limits_{T^{-1}(Y)}g(T(x),T(x)) \; \mathrm{d}P=P\left(x \in X \; \middle| T(x) \in Y\right)=P(X)=1$,
[/mm]
weil $P$ ein W-Maß ist.
> Und noch eine Frage (so nebenbei):
>
> Wieso wird dieses [mm]g(y,\eta)[/mm] eigentlich zweidimensional
> eingeführt.
> Wieso nicht einfach [mm]g(y)[/mm] als faktorisierte bedingte
> Erwartung von [mm]f(x)[/mm], gegeben [mm]T(x)=y[/mm]?
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Di 31.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke, das macht Sinn!
Auch, wenn ich nicht genau weiß, was man mit "impliziertes Maß" meint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Di 31.07.2012 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
ich meinte das induzierte Maß.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Di 31.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Hallo,
>
> ich meinte das induzierte Maß.
>
Achso, sorry, ich meinte auch das "induzierte Maß".
Nur weiß ich leider auch nicht genau, was damit allgemein gemeint ist.
Du hattest ja in Deiner Antwort schon etwas angedeutet, was das hier konkret bedeuten könnte:
Vermutlich ist mit dem induzierten Maß (ich nenne es mal [mm] $\mu$) [/mm] sowas gemeint:
[mm] $\mu(B)=P(T^{-1}(B)), B\in\mathcal{B}$ [/mm] und es soll nach Voraussetzung gelten
[mm] $\mu(\left\{\eta\right\})=0, \eta\in Y\mbox{ beliebig}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 01.08.2012 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
genau so ist es.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:26 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Obwohl mir das Beispiel jetzt klar ist, ist mir nicht so wirklich klar geworden, was dieses Beispiel jetzt eigentlich zeigt...
Aus (i) folgt nicht (ii), okay. Aber was bedeutet denn das?
(Ich habe dazu ja diese Zeichnungen angefertigt und meine Gedanken aufgeschrieben. (s. noch offene Frage). Aber irgendwie werde ich daraus nicht so richtig schlau:
Was soll mir das alles sagen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mi 01.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich hoffe, dass so eine Frage wie "Was soll mir das sagen?" nicht zu allgemein ist, aber ich kann es irgendwie nicht konkreter fragen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:10 Do 02.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Was ich nicht verstehe, ist Folgendes:
Normalerweise (also rein nach Definition) müsste doch [mm] $E(f(x,\eta)|T)$ $\sigma(T)$-meßbar [/mm] sein, also
[mm] $E(f(x,\eta)|T)\colon (X\times Y,\sigma(T))\to\mathbb{R}$
[/mm]
Aber das passt doch irgendwie nicht! Denn wenn [mm] $g(T(x),\eta)$ [/mm] diesen bedingten Erwartungswert darstellen soll (ich verstehe das so, daß g die faktorisierte bedingte Erwartung sein soll...), so muss doch gelten:
[mm] $E(f(x,\eta)|T)=g\circ [/mm] T$.
Aber das kommt nicht hin, denn laut Voraussetzung soll g doch auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert sein!
Deswegen habe ich mir überlegt, daß [mm] $E(f(x,\eta)|T)$ [/mm] doch eigentlich [mm] $\sigma(N)$-meßbar [/mm] sein müsste, wobei
[mm] $N\colon X\times Y\to Y\times [/mm] Y, [mm] (x,y)\mapsto [/mm] (T(x),y)$ ist.
Denn dann ist
[mm] $E(f(x,\eta)|T)=g\circ [/mm] N$, also
[mm] $(x,\eta)\mapsto (T(x),\eta)\mapsto g(T(x),\eta)$
[/mm]
Dann käme das hin (meines Erachtens), wenn g die faktorisierte bedingte Erwartung darstellen soll...
Aber wozu dieser ganze Umstand?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Do 02.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Vielleicht meinen die Autoren ja ausführlich:
[mm] $E(f(x,\eta)|N(x,\eta)=(y,\eta))$ [/mm] mit [mm] $N\colon X\times Y\to Y\times [/mm] Y, [mm] (x,\eta)\mapsto (T(x),\eta)$
[/mm]
und schreiben dafür nur in Worten:
"Erwartungswert von [mm] $f(x,\eta)$, [/mm] gegeben $T(x)=y$"?
Anders kann ich es mir einfach nicht erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Fr 03.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ist hier wirklich niemand, der mir mal eben sagen könnte, ob ich das richtig begriffen habe?
Kann ich gar nicht glauben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 03.08.2012 | | Autor: | anon2 |
> Normalerweise (also rein nach Definition) müsste doch $ [mm] E(f(x,\eta)|T) [/mm] $ $ > > [mm] \sigma(T) [/mm] $-meßbar sein, also
Nein
> Aber das passt doch irgendwie nicht! Denn wenn $ [mm] g(T(x),\eta) [/mm] $ diesen > bedingten Erwartungswert darstellen soll (ich verstehe das so, daß g die > faktorisierte bedingte Erwartung sein soll...), so muss doch gelten:
Ja
> Aber das kommt nicht hin
Doch, du hast dir selber die Bedingung dafür definiert, benutze sie!!
> Deswegen habe ich mir überlegt, daß $ [mm] E(f(x,\eta)|T) [/mm] $ doch eigentlich $ [mm] \sigma(N) [/mm] $-meßbar sein müsste, wobei
Nein
>Dann käme das hin (meines Erachtens), wenn g die faktorisierte bedingte Erwartung darstellen soll...
Nein
> Aber wozu dieser ganze Umstand?!
Ja, warum bloss !!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:06 Fr 03.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Könntest Du mir das bitte eklären?
Ich verstehe Deine "Neins" nicht.
Ist das vllt so zu verstehen:
Da [mm] $\eta\in [/mm] Y$ (bel.) fixiert ist, kann man das quasi so behandeln, als würde man nur den Erwartungswert von $f(x)$, gegeben $T(x)=y$ bestimmen müssen?
Und die Funktion [mm] $g\colon Y\times Y\to\mathbb{R}$ [/mm] hängt sozusagen nur noch die zweite Koordinate [mm] $\eta$ [/mm] wieder dran?---
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 05.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 05.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich muss sagen, dass ich es ein bisschen ärgerlich finde, wenn jemand eine Antwort gibt und dann auf Rückfragen gar nicht mehr reagiert. ;(
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:23 Mo 06.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Da ich noch immer auf eine Antwort warte, habe ich meine neuen Ideen nochmal besser aufgeschrieben.
Ich verlinke nochmal den Text, auf den ich mich beziehe:
Substitution in Conditional Expectation
Anscheinend habe ich da Einiges zu kompliziert aufgefasst.
Daher hier meine korrigierten Ideen: |
g ist auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert. In der ersten Koordinate passiert das eigentlich Wesentliche, denn da steht im Grunde doch nichts Anderes als die faktorisierte bedingte Erwartung von $E(f(x)|T(x)=y)$. Deswegen muß g auch in der ersten Koordiante [mm] $\mathcal{B}$-meßbar [/mm] sein. Das ist vielleicht etwas ungünstig ausgedrückt. Ich versuche es, ein bisschen genauer zu formulieren: Im Grunde kommt es doch nur auf die Variable an und man hat für die faktorisierte bedingte Erwartung $E(f(x)|T(x)=y)=h(y)$, [mm] wenn$h\colon Y\to\mathbb{R}$ [/mm] eine [mm] $\mathcal{B}$-meßbare [/mm] Funktion ist.
Es ist aber ja nun irgendwie wünschenswert, auch die Konstante einzubeziehen, sodaß man gleich sehen kann, um welche Konstante es sich jeweils handelt. Schließlich stellt man ja später die Frage, ob man diese übergebene Konstante substituieren kann.
Deswegen verwenden die Autoren nicht die Funktion h, die $E(f(x)|T(x)=y)=h(y)$ und die [mm] $\mathcal{B}$-Meßbarkeit [/mm] erfüllt, sondern eben die Funktion g, die auf [mm] $Y\times [/mm] Y$ definiert ist und in der ersten Koordinate [mm] $\mathcal{B}$-meßbar. [/mm] Das kommt ja auf das Gleiche hinaus, die zweite Koordinate ist ja dann "nur" das konstante [mm] $\eta\in [/mm] Y$. Ob und wie die Funktion in der zweiten Koordinate irgendwie meßbar ist, spielt daher keine Rolle.
Das Entscheidende passiert aber, wie gesagt, in der ersten variablen Koordinate. Die zweite Koordinate hängt man sozusagen nur noch mit dran, damit man weiß, was gerade die Konstante ist, die man beliebig gewählt hat. Passieren tut da aber nichts Bedeutendes in der zweiten Koordinate von g.
Wer kann mir sagen, ob ich das wenigstens jetzt korrekt verstanden habe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 08.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 06.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 03.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 01.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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