Substitution - 2 Möglk. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe noch eine eher allgemeine Frage zum Integrieren mit Substitution.
Ich habe ja die Möglichkeit u=f(x) zu setzen ODER x=f(u), aber für die letzte Methode habe ich bisher noch kein Beispiel kennengelernt, außer ein einziges Mal bei einem Integral, in dem es um Wurzeln ging, sodass man [mm] x=t^2 [/mm] gesetzt hat um die Wurzel wegzubekommen. Aber gibt es noch andere Beispiele oder Fälle, wo man so ersetzt?
Lieben Dank für die Geduld! Nach der Klausur seid ihr auch hoffentlich erlöst von meinen Fragen ;o) Ich bin sehr dankbar für eure Hilfe!
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Klar.
Der Klassiker ist [mm] \integral{\arcsin{x}\ dx}
[/mm]
Schlags mal nicht nach, sondern löse es durch Substitution.
lg,
reverend
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arc hatten wir noch nie. Gibt es ein anderes Beispiel?
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Hallo Englein89,
> arc hatten wir noch nie. Gibt es ein anderes Beispiel?
Anderes Beispiel:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{ax^{2}+bx+c} \ dx}, \ a \not= 0 [/mm]
Gruß
MathePower
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Bei dem arc Beispiel ist es ja dann wieder ähnlich wie bei Wurzelfunktionen. Dann löse ich ja die Wurzel auf, wenn ich das x unter der Wurzel [mm] t^2 [/mm] nenne.
Aber was wäre die Lösung bei diesem Beispiel? [mm] 1/ax^2 [/mm] ist ja ax^-2. Würde ich hier dann irgendwas wählen, um den negativen Exponenten zu eliminieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Nicht ganz:
[mm] $$\bruch{1}{a*x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*x^{-2}$$
[/mm]
Hier brauche ich aber nicht substituieren, sondern kann gleich mittels  Potenzregel integrieren.
Gruß
Loddar
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Ganz so einfach ist das arcsin-Beispiel dann doch nicht. Probiers doch mal. Du bekommst zwar den arcsin weg, hast aber noch eine Ableitung neu hereinbekommen, mit der Du erstmal umgehen musst. Das ist immer noch einfacher als das folgende.
Wie willst Du denn bei dem anderen Beispiel, [mm] \integral{\bruch{1}{ax^2+bx+c}dx} [/mm] überhaupt [mm] \bruch{1}{ax^2} [/mm] herauslösen? So kannst Du den Nenner doch nicht zerlegen.
Tipp:
1) Nullstellen des Nenners berechnen
2) Partialbruchzerlegung
3) dann erst Substitution
unterwegs brauchst Du ein paar Einschränkungen oder Fallunterscheidungen.
zur Kontrolle: das hübsche Ergebnis ist [mm] F(x)=\bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}}*\arctan{(\bruch{b+2ax}{\wurzel{4ac-b^2}})}
[/mm]
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Hallo Englein,
der Witz an der Sache ist, dass Du nur wissen musst, dass der arcsin die Umkehrfunktion zum Sinus ist, jedenfalls innerhalb bestimmter Grenzen.
Die zielführende Substitution ist jetzt eben nicht z=f(x), sondern schlicht [mm] x=\sin{z}. [/mm] Dann bist Du den arcus sofort los...
lg,
rev
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