Substitution - dx zu dz? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 01.02.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Integration durch Substitution, und zwar genauer zu dem dx.
Nehmen wir folgendes Beispiel:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(2x)\* 2 dx}
[/mm]
Jetzt erkenne ich, dass wir dort eine verkettete Funktion sehen, die mit der Ableitung der inneren multipliziert wird.
Man substituiert also 2x und der Term lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(z)\* g'(z) dx}
[/mm]
MEINER Meinung nach müsste man aus dem dx jetzt einfach nur ein dz machen.
Uns wurde immer gesagt, das dx gibt lediglich an, nach welcher Variable integriert wird. Es ist kein mathematischer Teil des Terms.
Jetzt auf einmal soll man sich das dx als Wert vorstellen, den man mit g'(z) multipliziert und der so das dx ergibt.
Wir haben doch den Ausgangsterm vollständig substituiert. Warum soll jetzt g'(x) wegfallen, um an das dz zu kommen, warum kann ich es nicht einfach hinschreiben?
Ich hoffe, es ist einigermaßen klar, was ich sagen will^
mfG.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zur Integration durch Substitution, und
> zwar genauer zu dem dx.
>
> Nehmen wir folgendes Beispiel:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(2x)\* 2 dx}[/mm]
>
> Jetzt erkenne ich, dass wir dort eine verkettete Funktion
> sehen, die mit der Ableitung der inneren multipliziert
> wird.
> Man substituiert also 2x und der Term lautet:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(z)\* g'(z) dx}[/mm]
also wenn Du die Substitution $z:=2x$ machst sieht der Term erstmal so aus (die 2 darf man als Faktor vor das Integral ziehen):
[mm] $2\int_{a}^{b}\sin z\,\mathrm{d}x$
[/mm]
das ist jetzt etwas blöd, da die Variable ursprünglich x war und jetzt ein z im Argument steht. Wie man das nun ändert kann man sich durch einen kleinen mathematisch unsauberen aber hilfreichen Trick merken: Man leitet die Substitutionsgleichung ab und stellt formal nach dx um:
[mm] $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=2\Rightarrow\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}z}{2}$
[/mm]
das kann man jetzt ins Integral einsetzen und dann nach z integrieren:
[mm] $\int_{a}^{b}\sin z\,\mathrm{d}z$
[/mm]
und danach wieder rücksubstituieren.
>
>
> MEINER Meinung nach müsste man aus dem dx jetzt einfach
> nur ein dz machen.
Nein, denn dann würde der Faktor 2 nicht verschwinden und das Ergebnis wäre falsch.
> Uns wurde immer gesagt, das dx gibt lediglich an, nach
> welcher Variable integriert wird. Es ist kein
> mathematischer Teil des Terms.
Einem waschechten Mathematiker stehen beim Lesen dieser Aussage wahrscheinlich schon die Haare zu Berge.
Aber keine Sorge, ich bin kein Mathematiker ;)
Ich weiß nicht wie bei Euch die Einführung in die Integralrechnung aussah, aber man geht ja in der Regel von Riemannschen Summen aus bei denen über kleine Rechtecke summiert wird, also:
[mm] $\sum_i f(x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})=\sum_i f(x_i)\cdot\Delta [/mm] x$
Dieses delta wird dann immer kleiner usw...
Das Integralzeichen ist ein silisiertes S welches für Summe steht und aus dem delta ist ein d geworden. Du siehst also, das hat schon seinen Sinn und ist nicht bloß eine Kennzeichnung nach welcher Variable integriert wird.
>
> Jetzt auf einmal soll man sich das dx als Wert vorstellen,
> den man mit g'(z) multipliziert und der so das dx ergibt.
dx ist ein infinitesimales Längenelement, es ist also unendlich klein. Eigentlich kann man damit nicht "rechnen". Formal geht das aber schon und man kann es als endliche Größe behandeln.
>
> Wir haben doch den Ausgangsterm vollständig substituiert.
> Warum soll jetzt g'(x) wegfallen, um an das dz zu kommen,
> warum kann ich es nicht einfach hinschreiben?
>
> Ich hoffe, es ist einigermaßen klar, was ich sagen will^
Ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte.
>
> mfG.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 01.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Uns wurde immer gesagt, das dx gibt lediglich an, nach
> > welcher Variable integriert wird. Es ist kein
> > mathematischer Teil des Terms.
>
> Einem waschechten Mathematiker stehen beim Lesen dieser
> Aussage wahrscheinlich schon die Haare zu Berge.
leider ist die Anzahl der Kandidaten, die mir zu Berge stehen können, streng monoton fallend... aber wenigstens konvergent, da nach unten beschränkt. 
Naja, so schlimm finde ich die Aussage nicht (ähnliches steht sogar im Heuser; naja, dort ist es schon ein wenig anders formuliert...). Es ist eine Umschreibung des Wortes "Integrationsvariable". Und in der Tat kann man neben [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ auch [mm] $\int [/mm] fdx$ oder [mm] $\int [/mm] f$ schreiben. Das sind ja nur Schreibweisen. Die zweitletztgenannte findet man so übrigens auch im Heuser. Was allerdings bei der Integrationsvariable, neben der symbolischen Bedeutung, schön ist, ist eben, dass man, wenn man vernünftig formal damit rechnet, sich schnell gewisse Formeln überlegen kann; wie etwa die Substitutionsregel. Bzw. auch die Kettenregel der Differentiation kann man sich ja formal schnell mit
[mm] $$\frac{d(u(v(x)))}{dx}=\frac{du(v(x))}{dv}*\frac{dv(x)}{dx}$$
[/mm]
hinschreiben. In derWahrscheinlichkeitstheorie findet man ähnliches auch bei Dichtefunktionen...
> Aber keine Sorge, ich bin kein Mathematiker ;)
> Ich weiß nicht wie bei Euch die Einführung in die
> Integralrechnung aussah, aber man geht ja in der Regel von
> Riemannschen Summen aus bei denen über kleine Rechtecke
> summiert wird, also:
> [mm]\sum_i f(x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})=\sum_i f(x_i)\cdot\Delta x[/mm]
>
> Dieses delta wird dann immer kleiner usw...
> Das Integralzeichen ist ein silisiertes S welches für
> Summe steht und aus dem delta ist ein d geworden. Du siehst
> also, das hat schon seinen Sinn und ist nicht bloß eine
> Kennzeichnung nach welcher Variable integriert wird.
>
> >
> > Jetzt auf einmal soll man sich das dx als Wert vorstellen,
> > den man mit g'(z) multipliziert und der so das dx ergibt.
>
> dx ist ein infinitesimales Längenelement, es ist also
> unendlich klein.
Bei solchen Aussagen stehen Mathematikern vermutlich (erstmal) eher die Haare zu Berge (sofern denn noch welche existieren). Denn was soll etwas "unendlich kleines" denn bittesehr sein? Es ist ein bisschen größer als 0 und es gibt nix kleineres? Naja, dann halbieren wir es doch mal...
> Eigentlich kann man damit nicht "rechnen".
> Formal geht das aber schon und man kann es als endliche
> Größe behandeln.
Eben. Man kann halt "formal" mal damit rechnen, und sich überlegen, wie man die zugehörigen Formeln/Aussagen dann richtig beweist. Z.B. durch Grenzwertbetrachtungen...
Nix für ungut 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Ich habs schon geahnt, dass ich mich hier in Gewässer wage, in denen ich nicht heimisch bin...
> Hallo,
>
> > > Uns wurde immer gesagt, das dx gibt lediglich an, nach
> > > welcher Variable integriert wird. Es ist kein
> > > mathematischer Teil des Terms.
> >
> > Einem waschechten Mathematiker stehen beim Lesen dieser
> > Aussage wahrscheinlich schon die Haare zu Berge.
>
> leider ist die Anzahl der Kandidaten, die mir zu Berge
> stehen können, streng monoton fallend... aber wenigstens
> konvergent, da nach unten beschränkt.
>
> Naja, so schlimm finde ich die Aussage nicht (ähnliches
> steht sogar im Heuser; naja, dort ist es schon ein wenig
> anders formuliert...). Es ist eine Umschreibung des Wortes
Ich hab den Heuser nie intensiv studiert, aber ist der (bzw. seine Bücher) nicht eher so ein Anwendungsmathematiker? Legt also ohnehin nicht so großen Wert auf mathematische Präzision.
> > > Jetzt auf einmal soll man sich das dx als Wert vorstellen,
> > > den man mit g'(z) multipliziert und der so das dx ergibt.
> >
> > dx ist ein infinitesimales Längenelement, es ist also
> > unendlich klein.
>
> Bei solchen Aussagen stehen Mathematikern vermutlich
> (erstmal) eher die Haare zu Berge (sofern denn noch welche
> existieren). Denn was soll etwas "unendlich kleines" denn
> bittesehr sein? Es ist ein bisschen größer als 0 und es
> gibt nix kleineres? Naja, dann halbieren wir es doch mal...
Na ja, es ist eben schon unendlich mal halbiert, gedrittelt und durch sonstwas geteilt worden :-P
Wie würdest Du es denn umschreiben?
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Di 01.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habs schon geahnt, dass ich mich hier in Gewässer
> wage, in denen ich nicht heimisch bin...
>
> > Hallo,
> >
> > > > Uns wurde immer gesagt, das dx gibt lediglich an, nach
> > > > welcher Variable integriert wird. Es ist kein
> > > > mathematischer Teil des Terms.
> > >
> > > Einem waschechten Mathematiker stehen beim Lesen dieser
> > > Aussage wahrscheinlich schon die Haare zu Berge.
> >
> > leider ist die Anzahl der Kandidaten, die mir zu Berge
> > stehen können, streng monoton fallend... aber wenigstens
> > konvergent, da nach unten beschränkt.
> >
> > Naja, so schlimm finde ich die Aussage nicht (ähnliches
> > steht sogar im Heuser; naja, dort ist es schon ein wenig
> > anders formuliert...). Es ist eine Umschreibung des Wortes
>
> Ich hab den Heuser nie intensiv studiert, aber ist der
> (bzw. seine Bücher) nicht eher so ein
> Anwendungsmathematiker?
jein. Ich denke, dass der Heuser halt nicht nur "trockene Theorie" vermitteln will, sondern durchaus auch die Aufgaben bzw. den Ursprung der Theorie vermitteln bzw. motivieren will.
> Legt also ohnehin nicht so großen
> Wert auf mathematische Präzision.
[hä?] Also der Heuser ist doch schon sehr präzise. Natürlich nutzt er manchmal Umschreibungen und formuliert manche Dinge erstmal etwas "salopp", aber gerade das ist es ja, was seine Bücher vermitteln sollen bzw. wollen, jedenfalls meiner Meinung nach:
Erstmal soll der Leser ein Gefühl oder eine Idee für die Sachen bekommen, die man behandelt, und warum es sinnvoll ist, derartiges zu behandeln. Danach wird das ganze dann ein wenig "streng(er) definiert", so dass man auch vernünftig damit arbeiten kann. Das ganze hat durchaus den Vorteil, dass die Leser(innen) eben erstmal ein Gespühr oder eine Idee für die abstrakten "mathematischen Modelle" bekommen.
> > > > Jetzt auf einmal soll man sich das dx als Wert vorstellen,
> > > > den man mit g'(z) multipliziert und der so das dx ergibt.
> > >
> > > dx ist ein infinitesimales Längenelement, es ist also
> > > unendlich klein.
> >
> > Bei solchen Aussagen stehen Mathematikern vermutlich
> > (erstmal) eher die Haare zu Berge (sofern denn noch welche
> > existieren). Denn was soll etwas "unendlich kleines" denn
> > bittesehr sein? Es ist ein bisschen größer als 0 und es
> > gibt nix kleineres? Naja, dann halbieren wir es doch mal...
>
> Na ja, es ist eben schon unendlich mal halbiert, gedrittelt
> und durch sonstwas geteilt worden :-P
> Wie würdest Du es denn umschreiben?
Eben halt gar nicht, weil es in meinen Augen nichts unendlich kleines geben kann. Ich würde halt direkt mit Grenzprozessen versuchen, da ran zu gehen. Allerdings weiß ich auch, dass es durchaus auch noch mathematische Theorien gibt, wo man mit derartigem anscheinend vernünftig umgehen kann:
Z.B. bei den sogenannten ![[]](/images/popup.gif) hyperreellen Zahlen - mit denen ich mich aber nicht auskenne. Deswegen sei ergänzend nochmal angemerkt, dass die Aussagen meiner letzten Mitteilung sich auf meinen aktuellen Kenntnis- bzw. Wissensstand beziehen. Denn wenn man mit hyperreellen Zahlen etwa umzugehen weiß, kann es durchaus sein, dass Deine Aussagen da Sinn machen...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Solange du da stehen hast [mm] \int{sin(g(x))*g'dx} [/mm] kannst du direkt integrieren und -cos(g(x)) hinschreiben, weil du ja weisst dass die Ableitung davon sin(g(x))*g'(x) ist wenn du statt g(x)=z schreibst und dann sin(z)z'dx schreibst, weiss man ja nicht mehr wonach man integrieren soll. weil ja da nix mehr von x abhängiges steht. wenn du aber statt [mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm] schreibst steht da formal [mm] sin(z)*\bruch{dz}{dx}*dx, [/mm] aus dem vorigen mit g(x) siehst du, dass das dasselbe ist wie einfach nach z zu integrieren, deshalb kann man symbolisch kürzen und dann sin(z)dz schreiben, was gewohnter ist.
nochmals deutlich sin(z(x))*z'(x)*dx im integranden und sin(z)dz ist dasselbe. Weil das so ist, überlegen viele nicht mehr lange und schreiben dsnn einfach dz=z'dx
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
hab ja ganz ganz übersehen, dass das einfach nur die Substitutionsregel ist...
Na ja, jetzt kann sich Paivren aussuchen, was ihm besser gefällt :)
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