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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 01.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \wurzel{1+\sin x} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x = 0 $ |
Hi Forum,
ich nochmal 
Bei dieser Aufgabe komm ich jedesmal auf das selbe Ergebnis, doch in meinem Buch wird eine andere Lösung angegeben. Ich komm einfach nicht dahinter, welchen Fehler ich mache.
Mein Ansatz:
$\ [mm] \wurzel{1+\sin x} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x = 0 $ $\ | [mm] \cos [/mm] x = [mm] \wurzel{1 - \sin ^2 x} [/mm] $
$\ [mm] \wurzel{1+\sin x} \pm \wurzel{1 - \sin ^2 x} [/mm] = 0 $ $\ | y = [mm] \sin [/mm] x $
$\ [mm] \wurzel{1+y} \pm \wurzel{1 - y^2} [/mm] = 0 $
$\ 1+y [mm] \pm [/mm] (1 - [mm] y^2) [/mm] = 0 $
Hier hab ich nun, aufgrund des $\ [mm] \pm [/mm] $ das vor der Wurzel stand, eine Fallunterscheidung durchgeführt.
1. Fall:
$\ 1+y + 1 - [mm] y^2 [/mm] = 0 $
$\ - [mm] y^2 [/mm] + y + 2 = 0 $
Die Gleichung mittels pq-Formel aufgelöst bringt: $\ [mm] y_{1}=-1 [/mm] $; $\ [mm] y_{2}=2 [/mm] $
$\ [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x = -1 $
also $\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $; $\ [mm] \overline{x_{k}} [/mm] = [mm] \pi +\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $
2. Fall:
$\ 1+y - (1 - [mm] y^2) [/mm] = 0 $
$\ 1+y - 1 + [mm] y^2 [/mm] = 0 $
$\ [mm] y^2 [/mm] + y= 0 $
$\ y(y+1) = 0 $ $\ [mm] y_{1} [/mm] = 0 $; $\ [mm] y_{2} [/mm] = -1 $
$\ [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x = 0 $
$\ [mm] x_{k}=\pi*k [/mm] $
$\ [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x = -1 $
$\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $; $\ [mm] \overline{x_{k}} [/mm] = [mm] \pi+\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2\pi*k [/mm] $
wobei letzteres ja oben schon als Lösung aufgetaucht ist.
Nun meine Frage:
steckt da irgendwo ein Fehler und wenn ja, wo?
Die Lösung aus dem Buch lautet:
$\ [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \pi [/mm] (2k + 1)$; $\ [mm] \overline{x_{k}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] (4k - 1) $
Letzteres krieg ich auch raus, doch die erste Lösungsgleichung nicht.
Die erste Lösungsgleichung aus dem Buch ergibt sich doch nur, wenn man die Substitution mit cosinus durchführt, denn $\ [mm] \pi [/mm] $ kann ja keine Lösung von $\ [mm] \sin [/mm] x $ sein, oder?
Würde mich über einen Hinweis sehr freuen.
Viele Grüße,
ChopSuey
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> [mm]\ \wurzel{1+\sin x} + \cos x = 0[/mm]
> Hi Forum,
> ich nochmal
>
> Bei dieser Aufgabe komm ich jedesmal auf das selbe
> Ergebnis, doch in meinem Buch wird eine andere Lösung
> angegeben. Ich komm einfach nicht dahinter, welchen Fehler
> ich mache.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\ \wurzel{1+\sin x} + \cos x = 0[/mm] [mm]\ | \cos x = \wurzel{1 - \sin ^2 x}[/mm]
Hallo,
es stimmt nicht, daß [mm] \cos [/mm] x für alle x dasselbe ist wie [mm] \wurzel{1 - \sin ^2 x}.
[/mm]
Richtig wäre: [mm] |\cos x|=\wurzel{1-sin^2x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 01.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo angela,
> > [mm]\ \wurzel{1+\sin x} + \cos x = 0[/mm]
> > Hi Forum,
> > ich nochmal
> >
> > Bei dieser Aufgabe komm ich jedesmal auf das selbe
> > Ergebnis, doch in meinem Buch wird eine andere Lösung
> > angegeben. Ich komm einfach nicht dahinter, welchen Fehler
> > ich mache.
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > [mm]\ \wurzel{1+\sin x} + \cos x = 0[/mm] [mm]\ | \cos x = \wurzel{1 - \sin ^2 x}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> es stimmt nicht, daß [mm]\cos[/mm] x für alle x dasselbe ist wie
> [mm]\wurzel{1 - \sin ^2 x}.[/mm]
>
> Richtig wäre: [mm]|\cos x|=\wurzel{1-sin^2x}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
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Ist das durch das $\ [mm] \pm [/mm] $ vor der Wurzel nicht somit gegeben?
Ich versteh nicht ganz.
Viele Grüße,
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 01.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> $ \ [mm] \wurzel{1+\sin x} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x = 0 $ $ \ | [mm] \cos [/mm] x = [mm] \wurzel{1 - \sin ^2 x} [/mm] $
> $ \ [mm] \wurzel{1+\sin x} \pm \wurzel{1 - \sin ^2 x} [/mm] = 0 $ $ \ | y = [mm] \sin [/mm] x $
> $ \ [mm] \wurzel{1+y} \pm \wurzel{1 - y^2} [/mm] = 0 $
> $ \ 1+y [mm] \pm [/mm] (1 - [mm] y^2) [/mm] = 0 $
Der letzte Schritt ist nicht ganz okay
[mm] \wurzel{1+y}\pm\wurzel{1-y²}=0 [/mm] kannst du nicht einfach so quadrieren, um die Wurzeln wegzubekommen.
[mm] \wurzel{1+y}\pm\wurzel{1-y²}=0
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{1+y}=\mp\wurzel{1-y²}
[/mm]
Und jetzt kannst du (mit Fallunterscheidung quadrieren)
Ob das dein Fehler war, weiss ich aber gerade nicht.
Sinnvoller ist aber, die Betragssriche zu verwenden, und dann schon die Fallunterscheidung zu machen, wie es Angela vorgeschlagen hat.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Do 01.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Ok, werd das so probieren.
Vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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