Substitution bei Integralen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallole,
kann mir jemand mal bitte einen Tipp geben was ich da falsch mache:
[mm] \integral {\wurzel{r^2 - x^2} dx}
[/mm]
also hab ich erst mal folgendes gemacht:
Substitution t = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = -2x
dx = [mm] \bruch{1}{-2x} [/mm] dt
alles eingesetzt:
[mm] \integral {\wurzel{t} \bruch{1}{-2x} dt}
[/mm]
mit x = [mm] \wurzel{ r^2 - t}
[/mm]
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{\wurzel{t}}{-2 \wurzel{ r^2 - t}} [/mm] dt} =
- [mm] \bruch{1}{2} \integral [/mm] { [mm] \bruch{t}{ r^2 - t} [/mm] dt} =
- [mm] \bruch{1}{2} \integral [/mm] { -1 + [mm] \bruch{r^2}{ r^2 - t} [/mm] dt} =
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \integral{-1 dt} [/mm] + [mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{r^2}{ r^2 - t} [/mm] dt}) =
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-t + [mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{r^2}{ r^2 - t} [/mm] dt}) =
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-t + [mm] r^2 \integral [/mm] { [mm] \bruch{1}{ r^2 - t} [/mm] dt}) =
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-t - [mm] r^2 \ln(r^2 [/mm] - t))
Stimmt das soweit????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 21.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider falsch. du hast mittendrin ne Wurzel weggelassen!
bessere Substitution :x=r*sint und dann [mm] sin^{2}t+cos^{2}t=1 [/mm] benutzen.
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{\wurzel{t}}{-2 \wurzel{ r^2 - t}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt} =
hier verschwindet die Wurzel. damit ist der Rest wertlos.
> - [mm]\bruch{1}{2} \integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{t}{ r^2 - t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt} =
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke erstmal für die Antwort, dachte man kann die Wurzel "wegkürzen", ok jetzt eines besseren belehrt versuch ichs nochmal:
[mm] \integral {\wurzel{r^2 - x^2} dx}
[/mm]
Substitution:
x = r * sin(t)
x' = r * cos(t)
dx = [mm] \bruch{1}{r*cos(t)} [/mm] dt
Hm jetzt stellt sich für mich die Frage wie ich jetzt weitermache.
Denn wenn ich jetzt einsetze kommt irgendwie Mist raus.
|
|
|
| |
|
Hallo sambalmueslie,
> Danke erstmal für die Antwort, dachte man kann die Wurzel
> "wegkürzen", ok jetzt eines besseren belehrt versuch ichs
> nochmal:
>
> [mm]\integral {\wurzel{r^2 - x^2} dx}[/mm]
> Substitution:
> x = r * sin(t)
> x' = r * cos(t)
> dx = [mm]\bruch{1}{r*cos(t)}[/mm] dt
Das ist nicht richtig. Es muss da stehen:
[mm]dx\;=\; r\;\cos(t)\;dt[/mm]
> Hm jetzt stellt sich für mich die Frage wie ich jetzt
> weitermache.
Einsetzen.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
