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| Aufgabe | Folgende Integrale sollen berechnet werden :
1. [mm] \integral{(\bruch{x}{\wurzel{7-x^2}}) dx}
[/mm]
2. [mm] \integral{(\wurzel{a-bx}) dx}
[/mm]
3. [mm] \integral{(\wurzel{\wurzel{x}+1}) dx} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich habe wieder ein paar Fragen zu ein paar Integralen, bin mir an ein paar Stellen etwas unsicher.
Trotzdem hab ich schonmal ein paar Gedankenbrocken zu den Integralen :
zu 1 : gut, ich denke hier hilft nur Substitution der Integrationsvariabel ...
zu 2 : Wirklich garkeine ahnung ...
zu 3 : ich vermute einen trigonometrischen Term
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Hallo Eisquatsch,
ich würde sagen, dass sich alle 3 Integrale per Substitution lösen lassen.
Beim ersten würde ich [mm] $u:=7-x^2$ [/mm] substituieren, also [mm] $x=\sqrt{7-u}$
[/mm]
Und damit [mm] $\frac{dx}{du}=...\Rightarrow [/mm] dx=...$
Bei (b) tut's m.E. die Substitution [mm] $u:=a-bx\Rightarrow \frac{du}{dx}=...\Rightarrow [/mm] dx=...$
Bei (c) probiere mal [mm] $u:=\sqrt{x}+1\Rightarrow x=(u-1)^2\Rightarrow \frac{dx}{du}=...\Rightarrow [/mm] dx=...$
Denke daran, dass du [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] schreiben kannst als [mm] $z^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Kommst du damit erstmal weiter?
LG
schachuzipus
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> Beim ersten würde ich [mm]u:=7-x^2[/mm] substituieren, also
> [mm]x=\sqrt{7-u}[/mm]
>
> Und damit [mm]\frac{dx}{du}=...\Rightarrow dx=...[/mm]
>
hm ... ich habs damit ausprobiert und irgendwie bekomm ich es nicht hinn ...
für dx habe ich dx= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{7-z}}
[/mm]
und dann ...
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{7-z}}{\wurzel{7-(\wurzel{7-z})²}}* \bruch{1}{2*\wurzel{7-z}}}=
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{7-z}}{\wurzel{-z}*2*\wurzel{7-z}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{-z}
[/mm]
integrieren würde ja eigentlich ... [mm] \wurzel{-z} [/mm] ergeben ... aber das kanns ja nicht sein ne
da hab ich wohl was falsch gemacht ... aber was das seh ich einfach nicht
>
>
> Bei (b) tut's m.E. die Substitution [mm]u:=a-bx\Rightarrow \frac{du}{dx}=...\Rightarrow dx=...[/mm]
>
ganz komsich da hab ich dann für [mm] dx=\bruch{dz}{-x} [/mm] heraus ... und dann hab ich ja wieder x, da wo kein x sein sollte haha
>
> Bei (c) probiere mal [mm]u:=\sqrt{x}+1\Rightarrow x=(u-1)^2\Rightarrow \frac{dx}{du}=...\Rightarrow dx=...[/mm]
>
> Denke daran, dass du [mm]\sqrt{z}[/mm] schreiben kannst als
> [mm]z^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
Ok ... vor dem integrieren habe ich [mm] z^{1.5} [/mm] und nach dem integrieren [mm] 0,4*z^{2,5} [/mm] heraus ... stimmt das so und wenn ja, wie forme ich [mm] 0,4*z^{2,5} [/mm] noch um ?
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> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nicht ganz: [mm]dx \ = \ \bruch{\red{-1}}{2*\wurzel{7-z}}*du[/mm]
Wieso muss es -1 heißen ? Das verstehe ich gerade garnicht ...
> > [mm]\integral{\bruch{\wurzel{7-z}}{\wurzel{7-(\wurzel{7-z})²}}* \bruch{1}{2*\wurzel{7-z}}}=\integral{\bruch{\wurzel{7-z}}{\wurzel{-z}*2*\wurzel{7-z}}}= \bruch{1}{2}* \wurzel{-z}[/mm]
>
> Das muss hier dann richtig heißen: [mm]... \ = \ \integral{-\bruch{1}{2}*\wurzel{\red{+}z} \ dz} \ = \ -\bruch{1}{2}*\integral{z^{\bruch{1}{2}} \ dz}[/mm]
>
demzufolge den Rest auch nicht ...
> Der Term [mm]u \ := \ a-b*x_[/mm] abgeleitet ergibt doch [mm]u' \ = \ \bruch{du}{dx} \ = \ -b_[/mm]
> .
>
Ah gut, da hab ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.Aber was mach ich dann mit dem entstehenden Integral?
Erstmal habe ich [mm] :\integral{\bruch{\wurzel{z}}{-b} dz}
[/mm]
Integriert ergibt das : [mm] \bruch{1}{-b*2*\wurzel{z}} [/mm] ... was mich ja nicht besonders weiter bringt
>
> Bedenke, dass gilt: [mm]z^{2.5} \ = \ z^{\bruch{5}{2}} \ = \ ...[/mm]
> .
>
Gut , d.h. [mm] \wurzel[2]{z^5} [/mm] ... wie forme ich das weiter um ? [mm] z^3 [/mm] kann es ja nicht sein ...
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Hallo EQ,
> > Der Term [mm]u \ := \ a-b*x_[/mm] abgeleitet ergibt doch [mm]u' \ = \ \bruch{du}{dx} \ = \ -b_[/mm]
> > .
> >
>
> Ah gut, da hab ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht
> gesehen.Aber was mach ich dann mit dem entstehenden
> Integral?
>
> Erstmal habe ich [mm]:\integral{\bruch{\wurzel{z}}{-b} dz}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Integriert ergibt das : [mm]\bruch{1}{-b*2*\wurzel{z}}[/mm]
Hier hast du abgeleitet, nicht integriert 
Ziehe doch zuerst mal das [mm] $-\frac{1}{b}$ [/mm] vor das Integral, also
[mm] $=-\frac{1}{b}\int{\sqrt{z}\, dz}=-\frac{1}{b}\int{z^{\frac{1}{2}}\, dz}=-\frac{1}{b}\cdot{}\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}$
[/mm]
nach der Potenzregel: [mm] $f(x)=x^n\Rightarrow \int{f(x)\, dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] für [mm] $n\neq [/mm] -1$
Hier nun resubstituieren, also $z$ wieder ersetzen durch $a-bx$
> ... was
> mich ja nicht besonders weiter bringt
>
> >
> > Bedenke, dass gilt: [mm]z^{2.5} \ = \ z^{\bruch{5}{2}} \ = \ ...[/mm]
> > .
> >
>
> Gut , d.h. [mm]\wurzel[2]{z^5}[/mm] ... wie forme ich das weiter um
> ? [mm]z^3[/mm] kann es ja nicht sein ...
Hm, ich weiß nicht ganz, wie weit deine Rechnungen gehen, aber ich denke mal, du meinst dies:
[mm] $\int{\sqrt{\sqrt{x}+1}\, dx}=\int{\sqrt{z}\cdot{}2(z-1)\, dz}=2\int{\sqrt{z}(z-1)\, dz}=2\int{z^{\frac{1}{2}}(z-1)\, dz}=2\int{\left(z^{\frac{3}{2}}-z^{\frac{1}{2}}\right)\, dz}$
[/mm]
Hier wieder mit der Potenzregel integrieren:
[mm] $=2\cdot{}\left[\frac{2}{5}z^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right]$
[/mm]
Hier auch wieder resubstituieren und schön zusammenfassen...
LG
schachuzipus
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