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Hi!
Es gelten ja wegen der Kettenregel folgende Substituionsregeln:
I [mm] \integral_{}^{}{f(\varphi (t))*\varphi '(t) dt}=\integral_{}^{}{f(x)dx} [/mm] mit [mm] x=\varphi(t) [/mm] und [mm] dx=\varphi'(t)dt
[/mm]
II [mm] \integral_{}^{}{f(\varphi (t)) dt}=\integral_{}^{}{f(x)\bruch{dx}{\varphi '(t)}} [/mm] mit [mm] x=\varphi(t) [/mm] und [mm] dx=\varphi'(t)dt
[/mm]
In unserem Buch wird nun die Gültigkeit folgender Regel behauptet:
[mm] \integral_{}^{}{f(\varphi (x)) dx}=\integral_{}^{}{f(h(z))*h'(z)dz} [/mm] mit [mm] \varphi(x)=h(z) [/mm] und dx=h'(z)dz
Ich habe versucht die letzte Regel aus der zweiten herzuleiten:
[mm] \integral_{}^{}{f(\varphi (x)) dx}=\integral_{}^{}{f(u)\bruch{du}{\varphi '(x)}} [/mm] mit [mm] u=\varphi(x) [/mm] und [mm] du=\varphi'(x)dx [/mm] (II)
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{f(\varphi (x)) dx}=\integral_{}^{}{f(h(z))\bruch{du}{h'(z)}} [/mm] mit [mm] h(z)=\varphi(x) [/mm] und [mm] du=\varphi'(x)dx
[/mm]
Aber hier komme ich nicht weiter... Kann mir jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
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> Es gelten ja wegen der Kettenregel folgende
> Substituionsregeln:
>
> I [mm]\integral_{}^{}{f(\varphi (t))*\varphi '(t) dt}=\integral_{}^{}{f(x)dx}[/mm]
> mit [mm]x=\varphi(t)[/mm] und [mm]dx=\varphi'(t)dt[/mm]
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> II [mm]\integral_{}^{}{f(\varphi (t)) dt}=\integral_{}^{}{f(x)\bruch{dx}{\varphi '(t)}}[/mm]
> mit [mm]x=\varphi(t)[/mm] und [mm]dx=\varphi'(t)dt[/mm]
>
> In unserem Buch wird nun die Gültigkeit folgender Regel
> behauptet:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(\varphi (x)) dx}=\integral_{}^{}{f(h(z))*h'(z)dz}[/mm]
> mit [mm]\varphi(x)=h(z)[/mm] und dx=h'(z)dz
>
> Ich habe versucht die letzte Regel aus der zweiten
> herzuleiten:
Brauchst Du nicht, dort wird einfach nur ersetzt:
Mit [mm] $\varphi(x)=h(z)$ [/mm] und [mm] $dx\,=\,h'(z)dz$ [/mm] folgt durch einsetzen
[mm] $$\integral{f(\;\underbrace{\varphi (x)}_{=h(z)}\;) \underbrace{dx}_{=h'(z)dz}}=\int f(h(z))*h'(z)dz\,.$$
[/mm]
Allerdings ist die Formel nur dann richtig, wenn für [mm] $\varphi(x)=h(z)$ [/mm] auch wirklich $dx=h'(z)dz$ ist, was nicht immer stimmt. Gibt es denn da auch Beispiele, wo diese Formel angewendet wird? Ich würde generell sagen: Merke Dir die Formel I (bitte nicht verwechseln, ich will hier keine Schleichwerbung machen  ), vgl. auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Substitution eines unbestimmten Integrals, und beachte, dass, wenn Du ein bestimmtes Integral vorliegen hast, dann die Grenzen mitzusubstituieren sind.
P.S.:
Steht oben nicht vielleicht eher:
[mm] $$\int f(\varphi) d\varphi=\int [/mm] f(h(z)) [mm] h'(z)dz\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\varphi=\varphi(x)=h(z(x))=h(z)$ [/mm] (also [mm] $\varphi=h \circ [/mm] z$) ist?
Denn dann wäre ('formal gerechnet')
[mm] $$\frac{d \varphi}{dx}=h'(z)\frac{dz}{dx}\,,$$
[/mm]
also ('formal gekürzt')
$$d [mm] \varphi=h'(z)dz\,.$$
[/mm]
(Das ganze nur 'formal', weil die obige Rechnung i.a. keine Beweiskraft hat. Denn eigentlich stehen dort ja gewisse 'Operatoren' (Differentialoperator)...)
Das ist aber im Prinzip wieder das gleiche wie die Formel I...
Gruß,
Marcel
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Also ehrlich gesagt bringt unser Buch sogar nur ein Beispiel und keine algemeine Regel (die dritte habe ich also selbst anhand des Beispiels erstellt):
In unserem Buch wird [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] gesucht (habe ich verallgemeinert durch [mm] \integral_{}^{}{f(\varphi(x)) dx}) [/mm] und folgender Maßen gefunden:
Subsitution: x=sin(z) (habe ich verallgemeinert durch [mm] \varphi(x)=h(z) [/mm] )
Differentiale: [mm] x'=\bruch{dx}{dz}=cos(z) [/mm] (habe ich verallg. durch [mm] h(z)'=\bruch{dx}{dz} [/mm] aber vielleicht gilt dies nur für [mm] \varphi(x)=x, [/mm] wie in diesem Fall und das ist mein Fehler?)
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(z)}}*cos(z) dz} [/mm] usw.
Diese dx usw. sind mir ehrlich gesagt etwas suspekt ;) Wenn ich es richtig verstanden habe, zeigen sie nur die Integrationsvariable an, aber man kann sie als Trick für Äquivalenzumformungen gebrauchen, siehe z.B. Regel I. Ich hoffe, ich habe das richtig verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Noch genauer wäre es, wenn du x(z)=sin(z) setzt. Denn x ist dann hier eigentlich eine Funktion in Abhängigkeit von z.
Wenn du [mm] \varphi(x)=h(z) [/mm] setzt, setzt du 2 Funktionen mit verschiedenen Funktionsvariablen gleich und das bringt dir hier eigentlich nichts.
Vielleicht lag da der Fehler.
Und dass man mit den Differentialen einfach so "normal" rechnen darf, liegt daran, dass diese Umformungen konform mit der eigentlichen Herleitung für die Substitutionsregel sind.
Herleitung:
Sei H(x)=F(g(x)).
h(x)=f(g(x))*g'(x)
[mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}=[H(x)]_a^b=[F(g(x))]_a^b=F(g(b))-F(g(a))=[F(z)]_{g(a)}^{g(b)}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}
[/mm]
Und wenn du mit den Differentialen rumjonglierst, erhältst du das selbe. Ist nur eine Vereinfachung der Durchführung, da du nicht erst nach g(x) und g'(x) Ausschau halten musst.
Und bei deinem Beispielintegral geht man den Weg eben andersrum:
Man hat [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] und formt um, sodass [mm] \integral_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}{f((g(z))*g'(z) dz} [/mm] entsteht.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Dein Beweis zu [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz} [/mm] hat mir sehr geholfen.
Ich würde an dieser Stelle noch gerne Fragen, wie man die Beziehung [mm] \bruch{dx}{dz}=x' [/mm] , die in unserem Buch oft benutzt wird, beweisen kann.
Ich lesen diese Beziehung so: "statt dx kann ich auch dz*x' schreiben" (ich finde nämlich nicht, dass man für den Vergleich zweier Symbole dx und dz, die lediglich die Integrationsvariable anzeigen, ein Gleichheitszeichen verwenden kann oder diese dividieren kann, aber unser Buch findet das wohl schon).
Vielen Dank für eure Audauer schon jetzt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hmmm, was meinst du genau?
Weißt du, wo die Differentiale herkommen?
Und mit dz (oder anderen) Differentialen einfach durchmultiplizeren ist wie gesagt nur eine Hilfe und wird durch nichts begründet, was man gelernt hat.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
genau das finde ich ja auch, dass man eigentlich keine Rechengesetze auf diese Anzeigesymbole anwenden sollte, und wenn man das macht, dann ist das nur als abkürzender Trick gedacht, aber unser Buch schreibt folgendes:
"Anschaulich sind Differentiale die Kathetelängen in Steigungsdreiecken einer Kurventangente. dx ist der Tangentenzuwachs in x-Richtung und dy der Tangentenzuwachs in y-Richtung. Der Quotient [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] dieser Differentiale ist gleich der Steigung der Kurve im entsprechenden Kurvenpunkt P: [mm] \bruch{dy}{dx}=y' [/mm] "
Wenn man dy und dx an einem Steigungsdreieck definiert und dann sagt, dass dann gilt [mm] \bruch{dy}{dx}=y' [/mm] kann ich das ja verstehen. Aber das Buch geht eben weiter und verwendet [mm] \bruch{dy}{dx}=y' [/mm] auch beim Lösen von Integralen:
[mm] \integral_{}^{}{(4x+1)^{3}}dx=\integral_{}^{}{(z)^{3}}dx [/mm] (z=4x+1).
wegen [mm] \bruch{dz}{dx}=z' [/mm] gilt weiter [mm] =\integral_{}^{}{(z)^{3}}\bruch{dz}{4}
[/mm]
Ich finde sowas total verwirrend und verstehe echt nicht, wieso man mit etwas, was nur die Integrationsvariable anzeigt auf einmal Integrale löst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hm, na ja, dx ist nicht nur da, um zu zeigen, wonach du integrieren sollst.
Um die Herkunft zu klären, muss man nochmal zu den Ober- und Untersummen.
Eventuell habt ihr irgendwann mal definiert:
[mm] \summe_{i=0}^{n}f(x_i)*\bruch{b-a}{n}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
Weiter geht es dann mit [mm] $\bruch{b-a}{n}=\Delta [/mm] x$, da [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] jeweils einen Abstand zwischen x-Werten angibt (die Breite der Rechtecke).
Und wenn man die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich gehen lässt [mm] (n->\infty), [/mm] dann wird auch [mm] $\Delta [/mm] x$ beliebig klein, genau so, wie man es sich beim Differentialquotienten vorstellen kann.
Das dx war also ursprünglich mal die Breite der einbeschriebenen Rechtecke, die infinitesimal klein geworden ist beim Grenzübergang.
Also es ist nicht "einfach so" da. ;)
Wie dem auch sei, es rechtfertigt dennoch nicht das Rechnen damit, aber wie gesagt, es passt zur ordentlich hergeleiteten Substitution. Daher kann man das so machen.
Könntest es auch gerne so machen:
[mm] \integral_{}^{}{(4x+1)^{3}}dx=\bruch{1}{4}*\integral_{}^{}(\underbrace{4x+1}_{g(x)})^{3}*\underbrace{4}_{g'(x)}dx=\integral_{}^{}{z^{3}}dz [/mm] (z=g(x)=4x+1, [mm] f(x)=x^3)
[/mm]
Also ohne diese scheinbar willkürlichen Umformungen. Aber in der Praxis hat sich das bewährt, weil man auf das richtige Ergebnis kommt. Und das auf eine einfachere Art.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
ah, ok. Vielen Dank für deine Mühe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> genau das finde ich ja auch, dass man eigentlich keine
> Rechengesetze auf diese Anzeigesymbole anwenden sollte, und
> wenn man das macht, dann ist das nur als abkürzender Trick
> gedacht, aber unser Buch schreibt folgendes:
>
> "Anschaulich sind Differentiale die Kathetelängen in
> Steigungsdreiecken einer Kurventangente. dx ist der
> Tangentenzuwachs in x-Richtung und dy der Tangentenzuwachs
> in y-Richtung. Der Quotient [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] dieser
> Differentiale ist gleich der Steigung der Kurve im
> entsprechenden Kurvenpunkt P: [mm]\bruch{dy}{dx}=y'[/mm] "
das ist ja alles was 'anschauliches', was eigentlich nicht wirklich mathematisch ist (okay, irgendwie auch schon, weil man sich hier ja auf diff'bare Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] beschränkt und man da auch 'geometrische Interpretationen' mittels des Funktionsgraphen hat; aber ich meine mit 'mathematisch' jetzt eher im Sinne von 'formal' bzw. im Sinne der aufgestellten Theorie und den damit zugrundeliegenden Sätzen, Lemmas, Folgerungen bzw. Erkenntnissen).
Ebenso ist es eigentlich sehr unmathematisch, die Riemannsummen mit äquidistanten Stützstellen zu definieren, richtig findet man das z.B. bei Wiki, Riemann-Integral.
In anderen (dazu äquivalenten) Definitionen (z.B. hier, 26.3) steht nämlich in nicht unbedeutender Weise dabei: "...wenn für jede Zerlegung..."
Wenn man sich wirklich etwas mehr mit den ganzen Sachen auseinandersetzt, sieht man, dass man vieles, wie das 'formale Kürzen', auch wirklich mathematisch rechtfertigen kann. Im Sinne der Lebesgueschen Integrationstheorie wird man dann mit Maßen bzw. (Wahrscheinlichkeits-)Dichten arbeiten, und ansonsten muss man sich halt mit der Riemannschen Integrationstheorie auseinandersetzen oder mit Riemann-Stieltjes-Integralen. Das geht aber ein wenig über den Schulstoff hinaus, aber Du kannst z.B. im 'Heuser, Analysis I' mal nachschlagen. Oder mit etwas Glück findest Du auch mit google books, z.B. indem Du dort nach dem Buch von Heuser suchst, etwas. Leider hat man da immer nur ein 'beschränkte Einsicht' in das entsprechende Buch.
Übrigens wurde die Notation [mm] $\frac{d}{dx}f(x)$ [/mm] von Leibniz benutzt und sie hat durchaus auch 'heuristische Erfolge'. Z.B. kannst Du Dir mit dieser Notation relativ leicht die Kettenregel formal herleiten:
Sei $h=f [mm] \circ [/mm] g$, also [mm] $h(x)=f(g(x))\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\blue{h'(x)=\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dx} =\frac{dg}{dx}\frac{df(g)}{dg}=g'(x)*f'(g(x))}\,.$$
[/mm]
(Ich selber habe das in der Schule immer so geschrieben, weil es so formal für mich sinnvoller war:
[mm] $$\frac{df(g(x))}{dx} =\frac{dg(x)}{dx}\frac{df(g(x))}{dg(x)}\,,$$
[/mm]
allerdings ist es für einen Schüler sicher schon etwas verwunderlich, nach einer Funktion [mm] $g(x)\,$ [/mm] abzuleiten (so steht oben ja ein Operator der Art [mm] $\frac{d}{dg(x)}$). [/mm] Deswegen glaube ich, dass es in Schülbüchern sogar eher so auftaucht:
[mm] $$\frac{df(g(x))}{dx} =\frac{dg(x)}{dx}\frac{df(g(x))}{dg}\,,$$
[/mm]
und dass der Autor dann vielleicht dazuschreibt, dass am Ende $dg$ und nicht $dg(x)$ steht, weil es egal ist, da [mm] $g\,$ [/mm] eh eine von [mm] $x\,$ [/mm] abhängige Funktion ist, was er dann mit $g=g(x)$ notiert.)
Aber der wirkliche Beweis der Substitutionsregel läuft so, wie Teufel es oben geschrieben hat (vgl. auch Satz 17.17), denn bei dem Schritt [mm] $\frac{df(g(x))}{dx} =\frac{dg}{dx}\frac{df(g)}{dg}$ [/mm] 'erweitert man ja formal mit [mm] $\frac{dg}{dg}$', [/mm] aber eigentlich ist [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm] eine Operation, die man auf eine Funktion (in Abhängigkeit der Variablen [mm] $x\,$) [/mm] anwendet. Aber diese Notation hat auch noch einen Vorteil:
Wenn man
$$(f [mm] \circ g)'(x)=(f(g(x)))'=\frac{df(g(x))}{dx}$$
[/mm]
schreibt, so sieht man, dass [mm] $f\,$ [/mm] zunächst in Abhängigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] steht. So ist oben $f(g)$ und somit [mm] $f'(g)=\frac{df(g)}{dg}$, [/mm] und so kommt man nicht auf die Idee, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;(f(g(x)))'=f'(g(x))$$
[/mm]
wäre. Links wird nämlich nach [mm] $x\,$ [/mm] differentiert, und rechts ist nach [mm] $g\,$ [/mm] differentiert. Das heißt die Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] wäre äquivalent zu
[mm] $$\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg}\,,$$
[/mm]
das sieht aber auch schonmal offensichtlich nicht richtig aus (das würde [mm] $dx=dg\,$ [/mm] suggerieren). Also die Notation hat sich schon bewährt und ist auch in einem gewissen Rahmen gerechtfertigt, man sollte aber die wirkliche mathematische Theorie dahinter verstanden haben, damit man da nicht einfach 'blind wie mit Brüchen' rechnet. Obwohl es für den Schulgebrauch sicherlich reicht und, wie mir ein Physiker mal sagte, in der Physik auch ständig gemacht wird, weil man da einfach mit 'infinitesimalen Zahlen' rechnet (vgl. auch Wiki, Infinitesimalrechnung). Die mathematische Theorie beruht aber auf Grenzprozessen, und die 'Rechnungen mit inifinitesimalen Zahlen' sind sicher heuritisch praktisch und bringen sicher auch neue Erkenntnisse, aber man sollte das ganze dann nochmal wirklich 'mathematisch durchdenken', um keine Widersprüche zu erzeugen bzw. auch, um neue Erkenntnisse ggf. weiter zu verallgemeinern, wobei diese Erweiterung durch diese 'heuritische Rechenweise' nicht unbedingt hergeleitet werden kann.
Also nicht falsch verstehen: Ich lehne diese Rechenweise mit den infinitesimalen Zahlen nicht ab oder verunglimpfe sie, aber sie sollten eher Mittel zum Zweck sein, ggf. auch, um sich mathematisch bewiesene Formeln auch nochmal 'schnell herleiten' zu können (wie z.B. oben die Kettenregel), d.h. die Herleitung sollte durch 'einfaches Rechnen ohne Notwendigkeit der mathematischen Präzision' erfolgen können.
P.S.:
Dass man nicht einfach wie mit Brüchen rechnen darf, siehst Du ja auch an der Herleitung der Kettenregel (blaue Formel oben). Denn dort ist es ja nicht unbedeutend, wo man 'in den Zähler das [mm] $dg\,$' [/mm] und 'wo man in den Nenner das [mm] $dg\,$' [/mm] reinschmuggelt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
das werd ich mir morgen auf jeden Fall intensiv durchlesen!
Auch dir danke schonmal!
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