Substitutionsregel im R^2 < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Gegeben sei die Variablentransformation
T: x = x(u,v) = u + v , y = y(u,v) = [mm] u^2 [/mm] - v
B' sei der Bereich der uv-Ebene, der durch die Koordinatenachsen und durch die Gerade u +v = 2 begrenzt wird. Man skizziere den Bildbereich B von B' bei der Transformation T in die xy-Ebene und berechne das Bereichtsintegral:
1/ ( sqrt(1+4*x + 4*y) dx dy |
Hallo Community,
was ich als erstes gemacht habe, war es eben im uv-Koordinatensystem die Parabel, Gerade und die Winkelhalbierende des 2ten und 4ten Quadranten einzuzeichnen.
Danach habe ich die Funktionaldeterminante berechnet:
d(x,y) / d(u-v) = -2*u - 1
Anschließend habe ich eben die u und v in das Integral eingestzt und soweit vereinfacht: -2*u - 1 / [mm] 2*sqrt(u^2 [/mm] + u + 1) du dv
Allerdings bin ich mir bei den Grenzen etwas unsicher. In der Aufgabe steht das B' der Schnitt der Koordinatenachsen mit der Gerade: u+v = 2 ist.
Davon wären ja die grenzen einfach: { 0 <= u <= 2 ; 0 <= v <= 2 }
Aber wenn ich nun die Winkelhalbierende und die Parabel einzeichne verliere ich mich total. Ich weiß nicht ob ich nur den ersten Quadranten betrachen muss oder doch den ersten und zweiten Quadranten.
Da kann ich doch nicht einfache Zahlenwerte als Grenzen festlegen weil sie doch Funktionsabhängig sind oder nicht?
Für mich wäre dann die obere Grenze die Gerade: u + v = 2 und die untere Grenze -u = v : { -u <= v <= u - 2}
Bezüglich u wäre das ja mehr oder weniger die Parabel dann:
Also sowas wie: 2 * { 0 <= u <= [mm] u^2 [/mm] }
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Quinix,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Variablentransformation
> T: x = x(u,v) = u + v , y = y(u,v) = [mm]u^2[/mm] - v
>
> B' sei der Bereich der uv-Ebene, der durch die
> Koordinatenachsen und durch die Gerade u +v = 2 begrenzt
> wird. Man skizziere den Bildbereich B von B' bei der
> Transformation T in die xy-Ebene und berechne das
> Bereichtsintegral:
>
> 1/ ( sqrt(1+4*x + 4*y) dx dy
>
> Hallo Community,
> was ich als erstes gemacht habe, war es eben im
> uv-Koordinatensystem die Parabel, Gerade und die
> Winkelhalbierende des 2ten und 4ten Quadranten
> einzuzeichnen.
> Danach habe ich die Funktionaldeterminante berechnet:
> d(x,y) / d(u-v) = -2*u - 1
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Anschließend habe ich eben die u und v in das Integral
> eingestzt und soweit vereinfacht: -2*u - 1 / [mm]2*sqrt(u^2[/mm] + u
> + 1) du dv
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]\integral_{}^{}{ \integral_{}^{}{\left(-2u-1\right)*\wurzel{1+\blue{4}u+\blue{4}u^{2}} \ du} \ dv}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Allerdings bin ich mir bei den Grenzen etwas unsicher. In
> der Aufgabe steht das B' der Schnitt der Koordinatenachsen
> mit der Gerade: u+v = 2 ist.
> Davon wären ja die grenzen einfach: { 0 <= u <= 2 ; 0 <=
> v <= 2 }
>
> Aber wenn ich nun die Winkelhalbierende und die Parabel
> einzeichne verliere ich mich total. Ich weiß nicht ob ich
> nur den ersten Quadranten betrachen muss oder doch den
> ersten und zweiten Quadranten.
> Da kann ich doch nicht einfache Zahlenwerte als Grenzen
> festlegen weil sie doch Funktionsabhängig sind oder
> nicht?
> Für mich wäre dann die obere Grenze die Gerade: u + v =
> 2 und die untere Grenze -u = v : { -u <= v <= u - 2}
> Bezüglich u wäre das ja mehr oder weniger die Parabel
> dann:
> Also sowas wie: 2 * { 0 <= u <= [mm]u^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
Die Koordinatenachsen in der uv-Ebene besitzen die
Gleichung u=0 bzw. v=0. Das sind die Untergrenzen der beiden Integrale.
Die Obergrenzen erhältst Du aus der begrenzenden Gerade u+v=2.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Viele Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Quinix |
Also schaue ich doch nur den ersten Quadranten an wenn ich als untere Grenzen für u und v = 0 wähle?
Dann kann ich doch sagen das die obere Grenze für v einfach die u-2 gilt. Aber u ist doch dann abhängig von der Parabel.
Dann meine ich das die obere Grenze von u einfach dann diese u² sind.
[mm] \integral_{0}^{u^2}{\integral_{0}^{u-2}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}
[/mm]
Denke ich da richtig?
Viele Grüße
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Hallo Quinix,
> Also schaue ich doch nur den ersten Quadranten an wenn ich
> als untere Grenzen für u und v = 0 wähle?
>
Ja.
> Dann kann ich doch sagen das die obere Grenze für v
> einfach die u-2 gilt. Aber u ist doch dann abhängig von
> der Parabel.
> Dann meine ich das die obere Grenze von u einfach dann
> diese u² sind.
>
> [mm]\integral_{0}^{u^2}{\integral_{0}^{u-2}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}[/mm]
>
Hier muss es doch zunächst lauten:
[mm]\integral_{0}^{u^2}{\integral_{0}^{\blue{u-2}}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}[/mm]
> Denke ich da richtig?
>
Nicht ganz.
Die Obergrenze von u ist durch den Schnitt von v+u=2 und v=0 festgelegt.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Quinix |
Der Schnitt von v = 0 und u+v = 2 wäre doch dann: u = 2 wegen:
u + v - 2 = v
dh. [mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\blue{u-2}}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}
[/mm]
Wäre die rechte Lösung? Wenn ja, ist meine Frage warum wir die Parabel eigentlich dann garnicht verwenden.
Viele Grüße
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Hallo Quinix,
> Der Schnitt von v = 0 und u+v = 2 wäre doch dann: u = 2
> wegen:
> u + v - 2 = v
>
> dh.
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\blue{u-2}}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}[/mm]
>
Es muss doch hier stehen:
[mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{\red{2-u}}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u² + 4u+1}} dv du}}[/mm]
> Wäre die rechte Lösung? Wenn ja, ist meine Frage warum
> wir die Parabel eigentlich dann garnicht verwenden.
>
Die Parabel ist kein Teil der Begrenzung des Integrationsgebietes.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Quinix |
Ah nun ist mir ein Licht aufgegangen :). Danke für die Hilfe.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Quinix |
Noch eine kurze Frage hätte ich noch. Wenn ich den Term integriere:
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2-u}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u^2 + 4u+1}} dv du}}
[/mm]
Im ersten Schritt kann man die Vereinfachung machen:
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2-u}{-1 dv du}}
[/mm]
Wenn ich das integriere und die Grenzen einsetze erhalte ich:
[mm] \integral_{0}^{2}{u-2 du}
[/mm]
Hier ist was mich irritiert:
Wenn man diesen Term integriert und die Grenzen einsetzt kommt -2 raus, was für eine Fläche nicht möglich ist.
Viele Grüße
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Hallo Quinix,
> Noch eine kurze Frage hätte ich noch. Wenn ich den Term
> integriere:
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2-u}{\bruch{(-2u - 1)} {\wurzel{4u^2 + 4u+1}} dv du}}[/mm]
>
> Im ersten Schritt kann man die Vereinfachung machen:
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{2-u}{-1 dv du}}[/mm]
>
> Wenn ich das integriere und die Grenzen einsetze erhalte
> ich:
> [mm]\integral_{0}^{2}{u-2 du}[/mm]
>
> Hier ist was mich irritiert:
> Wenn man diesen Term integriert und die Grenzen einsetzt
> kommt -2 raus, was für eine Fläche nicht möglich ist.
>
Skizziere Dir den Integrationsbereich in der x-y-Ebene.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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