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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo,
ich habe folgendes Integral:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{2x + 3}{(x+2)^2} dx}
[/mm]
hier soll eine Integration durch Substitution erfolgen und zwar mit t = x + 2.
Ist dieses Integral richtig und wie ermittle ich die neuen Grenzen a und b?
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2( t-2) +3}{t^2} dt}
[/mm]
Freue mich über jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo docy!
Der Ansatz sieht doch gut aus ... und nun den Bruch zerlegen zu:
[mm] $\bruch{2*( t-2) +3}{t^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*t-4+3}{t^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*t-1}{t^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*t}{t^2}-\bruch{1}{t^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{1}{t}-t^{-2}$
[/mm]
Kannst Du nun die Stammfunktion bilden?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hi Roadrunner,
vielen Dank für deine Hilfe, kannst du mir vielleicht noch helfen die neuen Grenzen a und b zu ermitteln? Wenn ja, kannst du mir auch sagen, wie man da drauf kommt?
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Hallo Docy.
Die neuen Grenzen findest du heraus, indem du deine alten Grenzen in deine Substitution für x einsetzt.
Dein Substitution war ja $t = x + 2$
Fangen wir mit der unteren Grenze $1$ an und ermitteln die neue Grenze a:
$a = x + 2 = 1 + 2 = 3$
Genauso für die obere Grenze $2$:
$b = x + 2 = 2 + 2 = 4$
Dein gesuchtes Integral [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2( t-2) +3}{t^2} dt}
[/mm]
heißt jetzt also [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{2( t-2) +3}{t^2} dt}.
[/mm]
Kannst du es jetzt lösen?
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hab verstanden, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Di 13.06.2006 | | Autor: | Docy |
Schönen Gruß an alle,
ich habe mal wieder ein kleines Problem! Ich soll das folgende Integral mithilfe der Integration durch Substitution lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1 + x^2} dx}
[/mm]
und zwar durch [mm] x=\bruch{1}{2}(e^t [/mm] - [mm] e^{-t})
[/mm]
Ich hab zunächst x ersetzt, dann komm ich auf
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(\bruch{1}{2}e^t + \bruch{1}{2}e^{-t})} \bruch{1}{2}(e^t + e^{-t}) dt}
[/mm]
ist das soweit richtig? Wenn ich nun die Wurzel ziehe, kann das Ergebnis doch sowohl positiv als auch negativ sein! Was ist denn nun richtig und wieso?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 13.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
> Schönen Gruß an alle,
>
> ich habe mal wieder ein kleines Problem! Ich soll das
> folgende Integral mithilfe der Integration durch
> Substitution lösen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1 + x^2} dx}[/mm]
>
> und zwar durch [mm]x=\bruch{1}{2}(e^t[/mm] - [mm]e^{-t})[/mm]
>
> Ich hab zunächst x ersetzt, dann komm ich auf
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{(\bruch{1}{2}e^t + \bruch{1}{2}e^{-t})} \bruch{1}{2}(e^t + e^{-t}) dt}[/mm]
Da hast du nen Fehler gemacht! die Wurzel ist weg, denn
[mm] 1+x^{2}= (\bruch{1}{2}(e^t + e^{-t}))^2[/mm]
> ist das soweit richtig? Wenn ich nun die Wurzel ziehe, kann
> das Ergebnis doch sowohl positiv als auch negativ sein! Was
> ist denn nun richtig und wieso?
Wenn man von der Wurzelfunktio als Funktion spricht, meint man IMMER die pos. Wurzel (Vereinbarung, beide Wurzeln also [mm] \pm [/mm] wär ja keine Funktion, weil es zu jedem x zwei Funktionswerte gäbe. Meint man [mm] -\wurzel [/mm] dann schreibt man es davor!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 13.06.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo,
du hast recht, ich hab da ne 2 als Potenz vergessen.
Wenn ich Jetzt mit dem Integral weiterrechne, komme ich doch auf den Ausdruck:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dt}
[/mm]
Was soll ich jetzt machen? Wenn ich wieder resubstituiere, (für t gilt dann wegen [mm] \bruch{1}{2}(e^t [/mm] - [mm] e^{-t})=x [/mm] => t = ln(x + [mm] \wurzel{x^2 + 1})) [/mm] komm ich auf den Ausdruck:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(x + \wurzel{x^2 + 1} + (x + \wurzel{x^2 + 1})^{-1}) dx}
[/mm]
Ist das bis zu dieser Stelle richtig?
Lg
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Hallo !
Nein da musst du keine Substitution mehr machen.
Die Aufgabe kannst du jetzt mit der partiellen Integration Lösen.
[mm] \integral_{a}^{b}{u'(x) *v(x)} [/mm] = [u (x) * v(x)] a/b [mm] -\integral_{a}^{b}{u(x) * v'(x)}
[/mm]
u'(x)= [mm] e^t [/mm] + e^-t= v(x)
=> u'(x) * v(x) = [mm] (e^t [/mm] + [mm] e^-t)^2
[/mm]
die [mm] \bruch{1}{4} [/mm] kannst du einfach vor das Integral schleiben und nach dem einsetzen von a und b dann das gesamte mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] mal nehmen.
Ich hoffe ich konnte dir helfen
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Docy |
Danke für deine Hilfe,
hab allerdings noch ne kleine Frage:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}((e^t [/mm] - [mm] e^{-t})(e^t [/mm] + [mm] e^{-t})) [/mm] | - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t - e^{-t})^2 dt}
[/mm]
und
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t - e^{-t})^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}((e^t [/mm] - [mm] e^{-t})(e^t [/mm] + [mm] e^{-t})) [/mm] | - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dt}
[/mm]
ist doch soweit korrekt, oder? Aber dann gilt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}((e^t [/mm] - [mm] e^{-t})(e^t [/mm] + [mm] e^{-t})) [/mm] | - [mm] (\bruch{1}{4}((e^t [/mm] - [mm] e^{-t})(e^t [/mm] + [mm] e^{-t})) [/mm] | - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dt})
[/mm]
und da kommt auf beiden Seiten 0 raus!
Wo mach ich den Fehler?
Fürde mich freuen, wenn du, oder jemand anderes mir helfen könntet...
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hexe
Der Rat hier führt leider zu nichts als einem Kreisschluss.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
> Wenn ich Jetzt mit dem Integral weiterrechne, komme ich
> doch auf den Ausdruck:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{4}(e^t + e^{-t})^2 dt}[/mm]
> Was soll ich jetzt machen? Wenn ich wieder resubstituiere,
> (für t gilt dann wegen [mm]\bruch{1}{2}(e^t[/mm] - [mm]e^{-t})=x[/mm] => t
du hast doch grad so geschickt substituiert, danit du das Integral lösen kannst! Also ist das sicher der ganz verkehrte Weg!
Durch ausquadrieren kommst du auf ganz einfache Integrale über [mm] e^{2t}. [/mm] Erst wenn du die ausgeführt hast solltest du resubstituieren.
Subst. ist dafür da ein Integral vielleicht mit einfacheren Mitteln zu lösen , also IMMER erst wenn du integriert hast zurücksubstituieren.( Ausserdem musst du nen Fehler gemacht haben , wenn man hin und zurücksubstituiert, muss doch wieder dasselbe wie am Anfang rauskommen!)
> = ln(x + [mm]\wurzel{x^2 + 1}))[/mm] komm ich auf den Ausdruck:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(x + \wurzel{x^2 + 1} + (x + \wurzel{x^2 + 1})^{-1}) dx}[/mm]
>
> Ist das bis zu dieser Stelle richtig?
Nein
Gruss leduart
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