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Hallo,
Neulich habe ich neben einen Induktionsbeweis, auch einen anderen Beweis für [mm] $1+3+5+...+2n-1={{n}^{2}}$ [/mm] gesehen, der sich im Anhang befindet.
Nun habe ich probiert ungerade Zahlen nicht als 2n-1 sondern 2n+1 zu beschreiben.
Doch leider komme ich im Moment nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir zeigen könntet welchen Fehler ich andauernd mache, sodass ich auf [mm] n^2+n [/mm] komme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hinweis: der Strich beim letzten Gleichheitszeichen ist unbeabsichtigt!
Danke sehr
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Fr 05.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich bin mir nicht sicher ob das meinst.
[mm] \summe_{n=1}^{N}(2n-1)=2*\summe_{n=1}^{N}n-N=2*\br{N*(N+1)}{2}-N=N^2 [/mm] und
[mm] \summe_{n=0}^{N-1}(2n+1)=2*\summe_{n=0}^{N-1}n+N=2*\br{(N-1)*N}{2}+N=N^2
[/mm]
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Danke für diesen Beweis der Behauptung!
Ich komme jedoch mit der im Bild vorgeführten Methode, wenn ich wie im Beweis von ullim einmal 2n-1 und einmal 2n+1 verwende, nicht zum selben Ergebnis.
Was mache ich falsch?
Danke für die Unterstützung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 + 3 + 5 .............+2n+1=s
2n+1 +2n-1 +2n-1.............+ 1 =s
-----------------------------------
2n+2 +2n+2 +-----------------+2n+2=2s
[mm] 2s=(2n+2)*(n+1)=2(n+1)*(n+1)=2(n+1)^2
[/mm]
[mm] s=(n+1)^2
[/mm]
meinst du das?
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Hallo,
Warum multiplizierst du mit n+1 und nicht mit n?
Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen, mit der Methode des Bildes zu beweisen, dass es mit n+1 ebenfalls [mm] n^2 [/mm] ergibt.
Danke
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Hallo Platoniker,
> Hallo,
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> Warum multiplizierst du mit n+1 und nicht mit n?
> Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen, mit der Methode des
> Bildes zu beweisen, dass es mit n+1 ebenfalls [mm]n^2[/mm] ergibt.
Nun, die ungeraden Zahlen sind in der Form 2k+1 geschrieben worden.
Für k=0 ergibt sich die 1, für k=n ergibt sich 2n+1,
d.h von k=0 bis k=n sind es n+1 Summanden.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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Hallo,
[mm] \[{{\left( n+1 \right)}^{2}}\] [/mm] erbgibt jedoch auch nicht [mm] n^2, [/mm] was ich beweisen soll. Wie komme ich mit leduarts Ergebnis zu [mm] n^2?
[/mm]
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Hallo Platoniker,
> Hallo,
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> [mm]\[{{\left( n+1 \right)}^{2}}\][/mm] erbgibt jedoch auch nicht
> [mm]n^2,[/mm] was ich beweisen soll. Wie komme ich mit leduarts
> Ergebnis zu [mm]n^2?[/mm]
Nun, dann musst Du die ungeraden Zahlen von 1 bis 2*(n-1)+1 addieren.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Platoniker |
Danke an alle für die Hilfe!
Mein Problem ist gelöst!
Schöne Grüße
Platoniker
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Hallo,
um nochmal eine alternative form des beweises aufzuzeigen:
Du kannst mit differenzengleichungen argumentieren.
Sei [mm] S_{n}=1+3+5+...,(2n-1) [/mm] dann ist [mm] S_{n+1}=1+3+5+...+(2n+1), [/mm] also ist
[mm] S_{n+1}-S_{n}=2n+1
[/mm]
Das charakterisitsche polynom ist dann [mm] \lambda-1=0 \Rightarrow \lambda=1
[/mm]
Die lösung der homogenen differenzengleichung ist also [mm] S_{n}=A*(1)^{n}
[/mm]
Setzen wir jetzt S(0)=0, S(1)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] A=0
Nun brauchen wir noch die lösung der heterogenen Differenzengleichung. Hierzu wähle den ansatz [mm] S_{n}=an^2+bn+c. [/mm] Dann ist
[mm] S_{n+1}-S_{n}=an^2+2an+a+bn+b+c-an^2-bn-c=2an+a+b=2n+1
[/mm]
JEtzt koeffizientenvergleich:
2a=2 [mm] \Rightarrow [/mm] a=1
a+b=1 [mm] \Rightarrow [/mm] b=0
also ist [mm] S_{n}=n^2
[/mm]
Das sollte auch für [mm] S_{n}=1+3+5+...+(2n+1) [/mm] funktionieren.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Fr 05.11.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Hallo,
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> Neulich habe ich neben einen Induktionsbeweis, auch einen
> anderen Beweis für [mm]1+3+5+...+2n-1={{n}^{2}}[/mm] gesehen, der
> sich im Anhang befindet.
Am anschaulichsten find ich persönlich ja: Sich ein kariertes Blatt Papier nehmen und mal um 1 Kästchen 3 weitere herumzeichnen und so weiter...
Viele Grüße
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