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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es seien [mm] a_1,...,a_n [/mm] > 0 natürliche Zahlen, so dass,
[mm] \bruch{1}{a_1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{a_2000} [/mm] = 1.
Zeigen Sie, dass mindestens eines der [mm] a_k, [/mm] k = {1,2,...,2000} gerade ist.
Mein Ansatz ist ein Beweis durch Widerspruch. Ich nehme an, alle [mm] a_k [/mm] seien ungerade. Nun muss ich ja zeigen, dass die Summe von 2000 Brüchen mit ungeraden Nennern nicht 1 ergibt. Mir fehlt aber völlig der Ansatz.
Kann mir irgendjemand weiterhelfen? Danke schonmal im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Super! Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 14.11.2007 | | Autor: | froggie |
ist eigentlich [mm] a_{1}+a_{1999}=a_{2000}?
[/mm]
Darf man überhaupt mit den indices einfach so rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo froggie
> ist eigentlich [mm]a_{1}+a_{1999}=a_{2000}?[/mm]
Ganz sicher nicht! es sei denn [mm] a_{2000}ist [/mm] so definert!
> Darf man überhaupt mit den indices einfach so rechnen?
So wie du da oben :Nein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 14.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich mal ne frage, wenn ich zeigen will, das die Summe von unendlichevielen (betonung auf unendlich) ungeraden zahlen gerade ist, reicht es dann, wenn man es für 2 zahlen zeigt?
(2k+1)+(2l+1)=2(2+l+k)
Noch eine Frage, wenn ich die erste zeile mit dem Hauptnenner multipliziere, sieht dann die nächste zeile aus wie folgt? :
[mm] a_{1}+...+a_{2000}=\produkt_{i=1}^{2000}a_{i}
[/mm]
man kann dann ja sagen, dass die linke seite gerade ist und die rechte ungerade...
... ist eigentlich genau das gleiche prinzip, wie oben beschrieben... ;)
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Hallo froggie,
> ich mal ne frage, wenn ich zeigen will, das die Summe von
> unendlichevielen (betonung auf unendlich) ungeraden zahlen
> gerade ist, reicht es dann, wenn man es für 2 zahlen
> zeigt?
Das wird dir gar nicht gelingen, weil es falsch ist. Die Summe von geradzahlig vielen ungeraden Zahlen ist gerade
Das kannst du - wenn du willst/musst - induktiv zeigen
>
> (2k+1)+(2l+1)=2(2+l+k)
>
> Noch eine Frage, wenn ich die erste zeile ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
du meinst die erste Gleichung von ganz oben?
> mit dem Hauptnenner multipliziere, sieht dann die nächste zeile aus
> wie folgt? :
>
> [mm]a_{1}+...+a_{2000}=\produkt_{i=1}^{2000}a_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein, du musst die linke Seite ja erstmal auf den Hauptnenner bringen.
Das sieht (angedeutet) so aus:
$\frac{a_2a_3\cdot{}...\cdot{}a_{2000}}{a_1a_2...a_{2000}}+\frac{a_1a_3\cdot{}...\cdot{}a_{2000}}{a_1a_2...a_{2000}}+.....+\frac{a_1a_2\cdot{}...\cdot{}a_{1999}}{a_1a_2...a_{2000}}}=1$
also $\frac{(a_2a_3\cdot{}...\cdot{}a_{2000})+(a_1a_3\cdot{}...\cdot{}a_{2000})+.....+(a_1a_2\cdot{}...\cdot{}a_{1999})}{a_1a_2...a_{2000}}=1$
Dann kannst du durchmultiplizieren und hast rechts etwas ungerades (das Produkt von 2000 ungeraden Zahlen ist ungerade) und links als Summe von 2000 (also geradzahlig vielen) ungeraden Zahlen etwas Gerades
> man kann dann ja sagen, dass die linke seite gerade ist und
> die rechte ungerade...
>
> ... ist eigentlich genau das gleiche prinzip, wie oben
> beschrieben... ;)
Naah, so einfach klappt das wohl nicht 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Do 15.11.2007 | | Autor: | bonni |
hallo
ich versuche gerade folgenden satz zu beweisen:
die summe aus geradzahlig vielen ungeraden zahlen ist ungerade.
also:
[mm] \summe_{i=1}^{2k}2n+1= [/mm] 2d+1
mein ansatz ist glaub ich falsch, ich komm damit nicht weiter!?!
kann mir vielleicht jemand ein bisschen auf die sprünge helfen?
danke grüße
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Hallo bonni,
das kannst du so nicht aufschreiben.
Über was wird denn da summiert ?
Ich mach's mal etwas "verbaler"
Beh.: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist die Summe von 2n ungeraden Zahlen gerade
Also Induktion über n:
IA: n=1
zu zeigen : Die Summe von [mm] 2\cdot{}1=2 [/mm] ungeraden Zahlen ist gerade
Nehmen wir 2 ungerade Zahlen her 2k+1 und 2l+1
Dann ist (2k+1)+(2l+1)=2k+2l+2=2(k+l+1) gerade
IS: [mm] n\to [/mm] n+1
IV: Sei [mm] n\in\IN [/mm] und sei die Summe von 2n ungeraden Zahlen gerade, etwa =2a
Dann kannst du die Summe von 2(n+1)=2n+2 ungeraden Zahlen schreiben als [mm] (\underbrace{\text{Summe der ersten 2n ungeraden Zahlen}}_{\text{gerade nach IV}}) [/mm] + [mm] (\underbrace{\text{2 weitere ungerade Zahlen, etwa 2b+1 und 2c+1}}_{\text{gerade nach IA}})
[/mm]
Das ist als Summe zweier gerader Zahlen gerade
bzw ausgerechnet: 2a+[(2b+1)+(2c+1)]=2a+2b+2c+2=2(a+b+c+1) gerade
qed
Du kannst diese Idee ja formal noch etwas "aufmotzen"
LG und gute N8
schachuzipus
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![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]"){kind=small}
, bin aber nicht 100% sicher, ob die so ganz stimmt 