Summe / Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 09.10.2009 | | Autor: | winfried |
| Aufgabe | Schreiben Sie
an:= [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}*(3k-1)
[/mm]
als Summe von n Termen an, für n ∈ N. Bestimmen Sie anschließend eine explizite Formel für an .
Hinweis: Man muss die Fälle n gerade und n ungerade unterscheiden, d.h. n = 2k und n = 2k + 1 mit k ∈ N. |
Hallo!
Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch.
Ich habe n= 1,2,3,4 usw. eingesetzt, was mich dann bringt zu:
an := 2-5+8-11+14-17+...+(-1)^(n+1)*(3n-1)
offensichtlich für n gerade negativ,
n ungerade positiv (=alternierend?).
Das liefert mir also a
a1=2
a2=-3
a3=5
a4=-6
a5=8
a6=-9
...
Nun hätte ich also für ungerade und gerade Terme durch Ausprobieren eine explizite Formel für an gesucht...
also z.B.:
für n gerade:
an = [mm] (-1)(2n-\bruch{n}{2})
[/mm]
ich komme allerdings nicht drauf, wie das für die ungeraden n funktioniert.
a1=2, a3=5, a5=8
offensichtlich immer "3" Differenz zum nächsten.
Es bildet sich nach der Regel:
a1= n+1 (1+1=2),
a3=n+2 (3+2=5)
a5= n+3 (5+3=8)
Wie kann ich das formulieren ?
für n ungerade:
an = n+ [mm] \summe_{k=1}^{m}k [/mm] , k={1,2,3,...,m}???
Ich weiss das das so nicht geht ...
Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Bitte helfen!
Vielen Dank,
Winfried
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 09.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Schreiben Sie
> an:= [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}*(3k-1)[/mm]
>
> als Summe von n Termen an, für n ∈ N. Bestimmen Sie
> anschließend eine explizite Formel für an .
> Hinweis: Man muss die Fälle n gerade und n ungerade
> unterscheiden, d.h. n = 2k und n = 2k + 1 mit k ∈ N.
> Hallo!
>
> Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch.
>
> Ich habe n= 1,2,3,4 usw. eingesetzt, was mich dann bringt
> zu:
>
> an := 2-5+8-11+14-17+...+(-1)^(n+1)*(3n-1)
>
> offensichtlich für n gerade negativ,
> n ungerade positiv (=alternierend?).
>
> Das liefert mir also a
>
> a1=2
> a2=-3
> a3=5
> a4=-6
> a5=8
> a6=-9
> ...
>
> Nun hätte ich also für ungerade und gerade Terme durch
> Ausprobieren eine explizite Formel für an gesucht...
>
> also z.B.:
> für n gerade:
> an = [mm](-1)(2n-\bruch{n}{2})[/mm]
>
> ich komme allerdings nicht drauf, wie das für die
> ungeraden n funktioniert.
>
> a1=2, a3=5, a5=8
> offensichtlich immer "3" Differenz zum nächsten.
> Es bildet sich nach der Regel:
> a1= n+1 (1+1=2),
> a3=n+2 (3+2=5)
> a5= n+3 (5+3=8)
>
> Wie kann ich das formulieren ?
> für n ungerade:
> an = n+ [mm]\summe_{k=1}^{m}k[/mm] , k={1,2,3,...,m}???
> Ich weiss das das so nicht geht ...
>
> Oder bin ich total auf dem Holzweg?
> Bitte helfen!
>
> Vielen Dank,
> Winfried
Hallo, wenn man (3k-1) nur für ungerade Zahlen bildet, erhält man
2, 8, 14, 20, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die Summe über alle Werte (6*q-4), wobei q von 1 bis (n/2) läuft (für ungerade n sogar noch einen Schritt weiter:
Wenn man (3k-1) nur für gerade Zahlen bildet, erhält man
5, 11, 17, 23, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die Summe über alle Werte (6*q-1), wobei q von 1 bis (n/2) läuft (für ungerade n nur bis (n-1)/2.
Das sind zwei arithmetische Folgen, für die Summe aller Folgenglieder dürfte es eine Summenformel geben...
Da das Vorzeichen immer wechselt, musst du am Ende die Differenz der beiden Summen bilden.
Alternative:
Berechne [mm] (a_1+a_2), (a_3+a_4), (a_5+a_6), [/mm] ...
Die Folge dieser Klammern ist ebenfalls arithmetisch. Für gerade n musst du einfach (n/2) Summanden dieser neuen arithmetischen Folge addieren, für ungerade n kommt einfach noch ein letzter "alleinstehender" Summand dazu.
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 10.10.2009 | | Autor: | winfried |
Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort. Ich habe eine Zeit drüber nachgedacht, aber komme trotzdem nicht so recht klar.
Du schreibst:
"...für ungerade Zahlen bildet, erhält man
2, 8, 14, 20, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die Summe über alle Werte (6*q-4), wobei q von 1 bis (n/2) läuft (für ungerade n sogar noch einen Schritt weiter:"
1.) wieso bis n/2?
2.) wir sind doch bei ungerade Zahlen, weshalb gibt es nochmal ungerade n, die einen Schritt weiter gehen? welchen Schritt? Du hast nach dem Doppelpunkt nichts geschrieben.
Das gleiche hier:
"nur für gerade Zahlen bildet, erhält man
5, 11, 17, 23, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die Summe über alle Werte (6*q-1), wobei q von 1 bis (n/2) läuft (für ungerade n nur bis (n-1)/2. "
wir sind doch bei geraden Zahlen?
Wie komme ich auf die Summenformel beider Folgen?
Oder ist das Ergebnis bereits...
[mm] an=\begin{cases} (6q-1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (6q-4), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
?
[mm] \summe_{q=1}^{n}(6q-4) [/mm] - [mm] \summe_{q=2}^{n}(6q-1) [/mm]
?
Alternative:
Berechne ... (a1+a2), (a3+4)
(2+5)=7, (19), (31), Differenz = 12
bildet sich durch ... 12q-5
[mm] \summe_{q=1}^{n} [/mm] (12q-5) = (12*1-5) + (12*2-5)+ ... ( 12* n/2 - 5 ) ?
Was bringt mir das ganze weiter?
Sorry, mir fehlt da irgendwie das Verständnis...
Danke für deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 10.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Danke erstmal für deine Antwort. Ich habe eine Zeit
> drüber nachgedacht, aber komme trotzdem nicht so recht
> klar.
>
> Du schreibst:
>
> "...für ungerade Zahlen bildet, erhält man
> 2, 8, 14, 20, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die
> Summe über alle Werte (6*q-4), wobei q von 1 bis (n/2)
> läuft (für ungerade n sogar noch einen Schritt weiter:"
> 1.) wieso bis n/2?
Hallo,
wenn du n Sumanden hast, von denen die Hälfte positiv und die Hälfte negativ ist, hast du von jeder Sorte nur n/2 Summanden.
> 2.) wir sind doch bei ungerade Zahlen, weshalb gibt es
> nochmal ungerade n,
Jedes Folgenglied hat eine Nummer. [mm] a_1 [/mm] hat die Nummer 1 (eine ungerade Nummer), [mm] a_2 [/mm] hat die Nummer 2 (eine gerade Nummer) ..., und das letzte Folgenglied heißt [mm] a_n. [/mm] Diese letzte Nummer n kann ja gerade sein (bei einer geraden Anzahl von Folgengliedern) oder ungerade (bei einer ungeraden Anzahl von Folgengliedern.
> die einen Schritt weiter gehen? welchen
> Schritt? Du hast nach dem Doppelpunkt nichts geschrieben.
Wenn du z.B. 101 Summanden hast, hast du von einer Sorte 50 und von der anderen 51 (also einen mehr).
>
> Das gleiche hier:
>
> "nur für gerade Zahlen bildet, erhält man
> 5, 11, 17, 23, usw. Die Summe all dieser Zahlen ist die
> Summe über alle Werte (6*q-1), wobei q von 1 bis (n/2)
> läuft (für ungerade n nur bis (n-1)/2. "
>
> wir sind doch bei geraden Zahlen?
>
> Wie komme ich auf die Summenformel beider Folgen?
Grundwissen (Gaußsche Summenformel).
Es gilt 1+2+3+4+...+k=k(k+1)/2
Dann gilt natürlich auch 6*1+6*2+6*3+...+6*k=6*k*(k+1)/2.
>
> Oder ist das Ergebnis bereits...
>
> [mm]an=\begin{cases} (6q-1), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (6q-4), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> ?
>
>
> [mm]\summe_{q=1}^{n}(6q-4)[/mm] - [mm]\summe_{q=2}^{n}(6q-1)[/mm]
>
> ?
>
> Alternative:
>
> Berechne ... (a1+a2), (a3+4)
> (2+5)=7, (19), (31), Differenz = 12
> bildet sich durch ... 12q-5
>
> [mm]\summe_{q=1}^{n}[/mm] (12q-5) = (12*1-5) + (12*2-5)+ ... ( 12*
> n/2 - 5 ) ?
>
> Was bringt mir das ganze weiter?
Du musst nicht von zwei arithmetischen Folgen die Summen bilden und dann subtrahieren, sondern du hast hier nur eine Folge (abgesehen vom möglicherweise allein stehenden letzten Summanden falls die Anzahl der Folgenglieder ungerade ist.
Gruß Abakus
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> Sorry, mir fehlt da irgendwie das Verständnis...
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> Danke für deine Hilfe.
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