Summe Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 09.04.2009 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} [/mm] ... untersuche diese Reihe!
[mm] S=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}+\bruch{1}{24}+\bruch{1}{60}... [/mm] |
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} [/mm]
Ich versuche mittels PBZ (Partialbruchzerlegung) eine Teleskopsumme zu finden!
[mm] \bruch{1}{2} *(\bruch{1}{2*n}+\bruch{1}{n+2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
//Fasse die positiven Brüche zusammen
[mm] \bruch{n+1}{n*(2+n)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
//Dies führt zu keiner Teleskopsumme und sinnvoll kürzen geht leider auch nicht!
?) Welche möglichkeiten gibt es sonst die Summe dieser Reihe zu berechnen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 09.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo fecit!
Es ergeben sich hieraus zwei Teleskopsummen:
[mm] $$\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2} *\left(\bruch{1}{n}- \bruch{2}{n+1}+\bruch{1}{n+2} \right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2} *\left(\bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}- \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2} \right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2} *\left[\left(\bruch{1}{n}- \bruch{1}{n+1}\right)- \left(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2} \right)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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