Summe dieser unendl. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 07.06.2007 | | Autor: | pyro |
Hallo!
In Informatik ist eine Summenformel aufgetaucht, und ich kann sie nicht beweisen :(
Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben!
Es geht also um folgende Summe: [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n}{2^n}
[/mm]
Das Ergebnis habe ich, aber wie würde ich es selber lösen?
Bin für einen Tipp dankbar :)
gruß
pyro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 07.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Es geht also um folgende Summe:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{n}{2^n}[/mm]
> Das Ergebnis habe ich, aber wie würde ich es selber
> lösen?
> Bin für einen Tipp dankbar :)
>
> gruß
> pyro
Ich würde das Quotientenkriterium benutzen:
[mm] \vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_n} }=\bruch{n+1}{2^{n+1}}*\bruch{2^n}{n}=\bruch{n+1}{2^n*2^1}*\bruch{2^n}{n}=\bruch{n+1}{2}*\bruch{1}{n}=\bruch{n+1}{2n}=\bruch{n}{n}*\bruch{1+\bruch{1}{n}}{2}\to\bruch{1}{2}
[/mm]
MfG
barsch
Ich hoffe, das stimmt mit deiner Lösung überein?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Do 07.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
nein, falsch ist es nicht. Du hast gezeigt, dass die Summe absolut konvergiet. Im Grenzübergang für n gegen unendlich ist die Summe ja gerade 2.
Mit dem Quotientenkriterium hast du das praktisch bewiesen. Aus der Frage war ja nicht genau ersichtlich, was er beweisen musste.
Grüße,
BertanARG
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Hi,
ich gehe mal davon aus, dass du folgende Reihe meinst:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{2^i}.
[/mm]
Versuchs mal auf folgende Weise:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{2^i}=\summe_{i=1}^{n} \bruch{i+1-1}{2^i}=\summe_{i=1}^{n} \bruch{i+1}{2^i}-\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i}.
[/mm]
Jetzt hast du einmal die geometrische Reihe, und auf beiden Seiten einen ziemlich ähnlichen Summanden. Verändere den Laufindex so, dass du auf der rechten Seite dann dieselbe Summe [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{2^i} [/mm] stehen hast wie links.
Dafür mußt du dann etwas der Summe hinzufügen, und etwas herausnehmen.
Am Ende sollte dann als Ergebnis:
[mm] 2-\bruch{n+2}{2^n} [/mm] herauskommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 07.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ist meine Antwort dann falsch?
MfG
barsch
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Hallo,
das Quotientenkriterium kann Dir helfen zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergiert. Den Grenzwert bekommst Du damit nicht.
Aber hier haben wir es mit einer endlichen Reihe zu tun, so daß die Konvergenz nicht in Frage steht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 07.06.2007 | | Autor: | pyro |
Hm danke, das ist schon mal ein guter Ansatz. Geometrische Reihe ist klar - bin jetzt am überlegen wie ich weiter vorgehe... Kann ich denn die geometr. Reihe gleich als Wert aufschreiben, oder muss dieser Term noch als Summenformel stehenbleiben, um nachher etwas damit zu machen?
Dass sie überhaupt konvergiert zu beweisen war kein Problem, aber die Herleitung für den Wert schaffe ich noch nicht... Vielleicht kommt mir ja heute abend auch noch eine Idee!
Danke schonmal
pyro
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> Hm danke, das ist schon mal ein guter Ansatz. Geometrische
> Reihe ist klar - bin jetzt am überlegen wie ich weiter
> vorgehe...
Hallo,
ich hoffe, daß Du nicht nur überlegst, sondern mit dem Stift in der Hand etwas experimentierst. Oft muß man viel Papier füllen, bis man den Dreh hat und es ganz kurz dasteht.
Ich weise nochmal eindringlich auf BertanARGs Tip mit der Indexverschiebung hin:
Versuche, die Sache so zurecht zu ziehen, daß Du auf der rechten Seite auch die gesuchte Reihe mit einem Faktor stehen hast. (Eventuell mußt Du zur Korrektur etwas addieren und/oder subtrahieren.)
> Kann ich denn die geometr. Reihe gleich als Wert
> aufschreiben, oder muss dieser Term noch als Summenformel
> stehenbleiben, um nachher etwas damit zu machen?
Du kannst es gleich umwandeln.
(Wenn Dich stört, wandelst Du wieder zurück - oder fängst neu an... Das meine ich mit experimentieren.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Fr 08.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
vielleicht bist du inzwischen ja selbst darauf gekommen. Ich geb dir nochmal einen kleinen Tipp...
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{2^i}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{2^i}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^i}
[/mm]
Das Problem ist das i+1 oben... Damit dort auch nur noch i steht, läßt du die Summe von 2 bis n+1 laufen...
[mm] \summe_{i=2}^{n+1}\bruch{i}{2^{i-1}}
[/mm]
Jetzt ziehst du eine 2 unten raus, damit auch [mm] 2^i [/mm] da steht
[mm] \summe_{i=2}^{n+1}2*\bruch{i}{2^{i}}=2*\summe_{i=2}^{n+1}\bruch{i}{2^{i}}.
[/mm]
Und jetzt einfach den Summanden i=n+1 raus nehmen, den Summanden i=1 einfügen und vor der Summe wieder abziehen. Dann steht auf beiden Seiten dieselbe Summe, und nach der löst du dann die komplette Gleichung auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:31 So 10.06.2007 | | Autor: | pyro |
Vielen vielen Dank, habe mich nochmal mit euren Tipps damit beschäftigt, und die Lösung auch herausbekommen :) War ja gar nicht mehr so schwer jetzt...
Ich denke ich habe von der Vorhergehensweise auch etwas gelernt! Werde versuchen nächstes mal "kreativer" an die Sache heranzugehen!
Danke und ein schönes Restwochenende
pyro
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