Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man summiere:
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(4n+1)(4n-3)} [/mm] $ |
Hallo!
Leider habe ich bei diesem Beispiel Schwierigkeiten. Die Formel für die Partialsumme kann ich hier schwer anwenden oder? Muss ich den Nenner vielleicht ausmultiplizieren und die Summe aufteilen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Führe für den aufzusummierenden Bruch eine  Partialbruchzerlegung durch. Dann solltest Du erkennen, dass sich die meisten der Summanden gegenseitig aufheben:
$ [mm] \bruch{1}{(4n+1)*(4n-3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{4n+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{4n-3} [/mm] $
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich bekomme für A = 1/4 und B = -1/4.
Also ergibt sich jetzt bei der Summe:
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{4(4n+1)} [/mm] $ + $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4(4n+1)} [/mm] $
Leider habe ich wieder keine Ahnung wie es weitergeht. Könntest du mir eine kleine Hilfe geben?
|
|
|
| |
|
> Ich bekomme für A = [mm] \red{-}1/4 [/mm] und B = [mm] \red{+}1/4.
[/mm]
>
> Also ergibt sich jetzt bei der Summe:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{4(4n+1)}[/mm] +
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4(4n+1)}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Leider habe ich wieder keine Ahnung wie es weitergeht.
> Könntest du mir eine kleine Hilfe geben?
Hallo,
das stimmt nicht ganz, mit [mm] A=-\bruch{1}{4} [/mm] und B= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] erhält man folgendes:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(4k+1)(4k-3)}=\sum_{k=1}^{\infty} -\bruch{1}{4(4k+1)}+\bruch{1}{4(4k-3)}
[/mm]
Betrachte nun die Partialsummen:
[mm] s_n=\sum_{k=1}^{n} -\bruch{1}{4(4k+1)}+\bruch{1}{4(4k-3)}=\bruch{1}{4}\cdot{}\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3)}-\bruch{1}{(4k+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}\left((1-\bruch{1}{5})+(\bruch{1}{5}-\bruch{1}{9})+(\bruch{1}{9}-\bruch{1}{13})+(\bruch{1}{13}-\bruch{1}{17})+.....+(\bruch{1}{4n-7}-\bruch{1}{4n-3})+(\bruch{1}{4n-3}-\bruch{1}{4n+1})\right)
[/mm]
Das ist eine Teleskopsumme, in der sich fast alle Summanden wegheben.
Es bleibt: [mm] s_n=\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{4n+1})
[/mm]
Nun den Grenzübergang [mm] n\rightarrow\infty [/mm] und du hast es
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
OK,
[mm] \limes_{n \to \infty}s_n [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{4n+1})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (1-0) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
stimmt das so? Da nur im Nenner und nicht im Zähler das n vorkommt, geht ich davon aus, dass dieser Term gegen 0 konvergiert. Oder muss ich bei der Grenzwertbestimmung das ganze anders umformen?
|
|
|
| |
|
> OK,
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}s_n[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{4n+1}))[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] (1-0) = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> stimmt das so? Da nur im Nenner und nicht im Zähler das n
> vorkommt, geht ich davon aus, dass dieser Term gegen 0
> konvergiert. Oder muss ich bei der Grenzwertbestimmung das
> ganze anders umformen?
Nö, das ist perfekt so ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Kann man eigentlich vor dieser Partialbruchzerlegung schon feststellen ob diese Reihe konvergiert?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja das kann man relativ einfach sehen.
Wenn du den Nenner ausmultiplizierst, hast du etwas von der Art [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{16n^2+.....}
[/mm]
Das kannste gegen eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^2} [/mm] abschätzen, die dann nach dem Vergleichskriterium eine konvergente Majorante ist. (evtl. [mm] \bruch{1}{16} [/mm] ausklammern...)
Denn es sind die Reihen [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^s} [/mm] mit [mm] s\in\IQ [/mm] kovergent für s>1 und divergent für [mm] s\le1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wieso kann ich eigentlich nicht gleich schreiben: [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\sum_{k=1}^{n} \bruch{1}{(4k-3)}-\bruch{1}{(4k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \cdot{} \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{(4k-3)}-\bruch{1}{(4k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \cdot{} [/mm] (0 - 0) = 0????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Weil das ohne das Summenzeichen doch ein ganz anderer Term ist.
Mach Dir das einfach mal am besten klar, indem Du die ersten Glieder ausrechnest und addierst. Da sollte doch auch schnell klar werden, dass die Gesamtsumme ungleich Null ist.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Und wie würde dann die PBZ für [mm] \bruch{1}{n! \cdot{} (n+1)!} [/mm] funktionieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Ich glaube, hierfür gibt es unter Umständen keine Partialbruchzerlegung (und wenn dann doch sehr aufwändig).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 15.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
soweit ich mich erinnern kann, braucht man für die PZB die Nullstellen des Nenners... - ich finde aber keine 
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
Und wie würde man dann die Summe von:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n! \cdot{} (n+1)!}
[/mm]
berechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Do 17.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
-- aber meine inner Stimme sagt: rekursiv 