Summe einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin
ich soll die Summe der folgenden Reihe ausrechnen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^{2}-1}
[/mm]
So jetzt hab ich logischerweise die ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung probiert und bin dabei hängengeblieben:
[m]\bruch{1}{4n^{2}-1}=\bruch{A}{4}+\bruch{B}{n^{2}-1}[/m] [mm] *4n^{2}-1
[/mm]
[m]1=A(n^{2}-1)+4B[/m]
[m]1=An^2-A+4B[/m]
So habe mehrere Möglichkeiten für die Partialbruchzerlgung gefunden.
a) die Nenner der Summe geben als Produkt den Nenner des Ausgangsbruches
b) den Nenner wegkürzen lassen, so wie ich es hier gezeigt habe
bei beiden folgt irgendwann der Koeffizientenvergleich
Ich habe mich für b) entschieden, weil ich dachte, dass es leichter geht.
Ich hoffe ich habe es bis hierhin richtig gemacht.
Vielen Dank für ein wenig Hilfe
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber shaguar
was ist die Summe einer Reihe??
Schau bitte die Definition von "Reihe" nochmals nach!
Die Idee mit der Partialbruchzerlegung ist sicher eine gute Idee, nur:
Der Nenner lautet ja [mm] $4n^2-1$, [/mm] und das ist doch $(2n+1)(2n-1)_$
Der Ansatz müsste also lauten:
[mm] $\bruch{1}{4n^2-1}=\bruch{A}{2n+1}+\bruch{B}{2n-1}$
[/mm]
Das entstehende Gleichungssystem sollte eindeutig aufzulösen sein und die Werte
[mm] $A=-\bruch{1}{2}$ [/mm] und
[mm] $B=+\bruch{1}{2}$
[/mm]
liefern.
Kommst du jetzt weiter?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
"...,den Grenzwert S nennt man Summe der Reihen..."(Wikipedia). Naja hätte ich die Binomische Formel gesehn wär ich bestimmt auch drauf gekommen. Habe mehrere ziemlich blöde Faktoren gebildet aber auf die B-Formel bin ich einfach net gekommen. Ich hab zwar arge Probleme mit Reihen werde aber dieser Teleskopreihe bestimmt irgendwie hinkriegen. Schreibe nachher mal meine Ergebnisse hier rein.
Danke für die Hilfe!
Gruß Shaguar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
der Rest war ja noch einfacher als gedacht. Ich schreibe mal auf, wie ich es jetzt aufschreiben würde.
[m] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^{2}-1} = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n-2}-\bruch{1}{4n+2}[/m]
Also ist die Summe [m]S= \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n-2}-\bruch{1}{4n+2}= \bruch{1}{2}[/m]
Sobald ich weiß kann man als Begründung nun folgendes schreiben:
Wenn man die Summe ausschreibt,
[m]\bruch{1}{2}\underbrace{-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{6}}_{=0}\underbrace{-\bruch{1}{10}+\bruch{1}{10}}_{=0}-\bruch{1}{14}...[/m]
sieht man, dass sich immer 2 Brüche zu 0 addieren und man nur noch einen kleineren von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] abziehen muss. Bei der Grenzwertbildung ist dieser Bruch bei [mm] n=\infty [/mm] gleich 0 und somit der Grenzwert dieser Reihe [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
So habe das jetzt denke/hoffe ich mal verstanden. Kann man dies als Begründung so schreiben?
Kann man es mathematischer ausdrücken?
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Shaguar
ach ja, das mit der Summe war etwas dumm von mir. Na ja, meine Antwort hat die offenbar trotzdem geholfen, was mich freut! 
Etwas mathematischer? Ist wahrscheinlich nicht nötig. Vielleicht könnte man das ja so machen:
Du hast ja eigentlich den Limes für n gegen Unendlich zu bestimmen von:
[mm] $\sum_{k=1}^n{\left(\bruch{1}{4k-2}+\bruch{1}{4k+2}\right)}$
[/mm]
Von dieser Summe kann der erste Summand und der letzte abgespalten werden, und das dazwischen ist ja, gemäss deiner eigenen Ueberlegung, immer Null:
[mm] $\sum_{k=1}^n{\left(\bruch{1}{4k-2}+\bruch{1}{4k+2}\right)}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4n+2}$
[/mm]
Davon den Grenzübertritt zu machen, ist nicht mehr allzuschwierig.
Mit lieben Grüssen
Paul
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