Summe über 1/k von 1 bis n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:10 So 24.10.2004 | | Autor: | Mialein |
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Beweisen Sie, dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] die Summe
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + ...+ [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
keine ganze Zahl ist.
Ich habe mir überlegt, dass wenn man die Summenformel hätte, man einfach zeigen könnte, dass der ggT(Nenner, Zähler)=1 ist.
Ich finde die Summenformel aber in keiner Formelsammlung und ich in auch zu blöd sie selbst aufzustellen (z.b. [mm] \bruch{2n!-1}{n!} [/mm] stimmt leider nur bis n=3)
Ich bräuchte nur einen Tipp, wie ich auf die Summenformel komme, außer dieser Lösungsweg ist völlig falsch.
Ich hatte auch schon überlegt, ob man es vielleicht zeigen könnte, wenn man gerade und ungerade Folgenglieder betrachtet, bin damit aber auch nicht weitergekommen
Anschaulich ist ja klar, dass es niemals eine ganze Zahl sein kann, nur das formal zu zeigen?
Bin morgen erst wieder abens zu Hause, werde also vorher nicht reagieren.
Viel Grüße und schon mal vielen Dank!
Entschuldigung, ich wollte den Artikel eigentlich ins Uni-Forum stellen, weiß aber nicht, wie ich das nachträglich ändern kann, habe mich vorhin leider verguckt!
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Hallo Mialein,
Ok, nun der nächste Versuch von mir. *g* (Langsam gewöhne ich mich ans Editieren.)
Stelle die Summe dar als a/b, wobei b = kgV(2,...,n) ist. Schreibe b = [mm] 2^r [/mm] l mit l ungerade. Wenn es uns nun gelänge, a als ungerade nachzuweisen, wären wir fertig oder? Vielleicht fällt mir dazu nochwas ein. *gerade herumbeweis*
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Sorry, ich bin oben gar nicht mehr ins Bearbeiten-Fenster gekommen und es steht trotzdem da, ich würde bearbeiten. *schulterzuck* Dann eben so:
a ist ungerade, denn wenn du die Brüche auf den Hauptnenner b erweiterst, dann kommst du irgenwann an einen Bruch mit der grössten Zweierpotenz kleiner gleich n im Nenner. Der Summand der durch Erweiterung auf b entsteht ist dann ungerade, aus allen anderen Brüchen kommen nur gerade Summanden hinzu.
Jetzt müsste man das nur formalisieren.
Grüsse,
Alex
PS.: Hab deine PN gelesen Mia, ich schreib es trotzdem noch hierhin. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Mialein |
Ich habe eine (wie ich finde) ganz tolle Lösung in einem Buch entdeckt, leider sehr knapp. Ich denke, dass ich es trotzdem verstanden habe und werde jetzt versuchen die Lösung hier (etwas ausführlicher) vorzustellen:
Gegenannahme: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}= [/mm] z [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{n} \bruch{n!}{k}= [/mm] zn! [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] i [mm] \not= [/mm] k [mm] i|\bruch{n!}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3....i...n}{k}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{ik} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3....[s]i[/s]....[s]k[/s]...n}{[s]ik[/s]} \in \IN
[/mm]
Sei nun k die größte Primzahl [mm] \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm] k teilt nicht
[mm] \bruch{1*2*3....i....[s]k[/s]...n}{[s]k[/s]} [/mm] (wg eindeutiger Primfaktorzerlegung)
Wenn in einer summe alle Summanden bis auf einen durch k teilbar sind, kann die Summe nicht durch k teilbar sein.
Widerspruch zur Gegenannahme. [mm] \Box
[/mm]
Falls es jemanden interessiert: ich habe eine rekursive Formel für die Summe aufgestellt:
[mm] x_{n}= \bruch{a_{n}}{n!}; a_{n+1}=a_{n}+n!; a_{n}=1
[/mm]
damit kann man aber eigentlich auch nicht viel anfangen
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