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| Aufgabe | Es seien die Mengen X:= [mm] {(x_1, x_2) \in \IR^2 : x_1 = 0, x_2 \le 0} [/mm] und
Y:= [mm] {(y_1, y_2) \in \IR^2 : y_1 > 0, y_2 \ge \bruch{1}{y_1}} [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass X und Y konvex und abgeschlossen sind, die Summe X+Y:= {(x+y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} aber offen im [mm] \IR^2 [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
ich habe leider Probleme mit dieser Aufgabe. Ich habe zuerst gezeigt, dass X konvex ist, das ist relativ trivial allerdings wollte ich fragen, ob man das auch ohne Fallunterscheidung machen kann?
Dann wollte ich zeigen, dass Y konvex ist:
Y konvex [mm] \gdw (y_1, y_2), (y_1', y_2') \in [/mm] Y , [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] :
[mm] \lambda*(y_1, y_2) [/mm] + [mm] (1-\lambda)*(y_1', y_2') \in [/mm] Y [mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\lambda*y_1 [/mm] + [mm] y_1' [/mm] - [mm] \lambda*y_1' [/mm] , [mm] \lambda*y_2 [/mm] + [mm] y_2' [/mm] - [mm] \lambda*y_2') \in [/mm] Y [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda*y_1 [/mm] + [mm] y_1' [/mm] - [mm] \lambda*y_1' [/mm] > 0 [mm] \wedge \lambda*y_2 [/mm] + [mm] y_2' [/mm] - [mm] \lambda*y_2' \ge \bruch{1}{\lambda*y_1 + y_1' - \lambda*y_1'}
[/mm]
[mm] \lambda*y_1 [/mm] + [mm] y_1' [/mm] - [mm] \lambda*y_1' [/mm] = [mm] \lambda*y_1 [/mm] + (1- [mm] \lambda)*y_1' [/mm] > 0 , da [mm] \lambda*y_1 [/mm] > 0 , [mm] (1-\lambda) [/mm] > 0 und [mm] y_1' [/mm] > 0
n.z.Z.: [mm] \lambda*y_2 [/mm] + [mm] y_2' [/mm] - [mm] \lambda*y_2' \ge \bruch{1}{\lambda*y_1 + y_1' - \lambda*y_1'} \gdw
[/mm]
[mm] (\lambda*y_1 [/mm] + [mm] y_1' [/mm] - [mm] \lambda*y_1')*(\lambda*y_2 [/mm] + [mm] y_2' [/mm] - [mm] \lambda*y_2') \ge [/mm] 1.
So diese Ungleichung habe ich auf verschiedene Arten versucht zu zeigen, bin aber bisher auf kein zufriedenstellendes Ergebnis gekommen.
Der einfachste Ansatz ist ja folgender: ... [mm] \gdw \lambda*y_2 \ge \bruch{1}{\lambda*y_1} [/mm] (1) [mm] \wedge y_2' \ge \bruch{1}{y_1'} [/mm] (2) [mm] \wedge -\lambda*y_1 \ge \bruch{1}{-\lambda*y_1'} [/mm] (3)
(2) trifft ja laut Voraussetzung [mm] (y_1', y_2') \in [/mm] Y zu, bleiben also (1) und (3) zu zeigen.
(1) habe ich mit [mm] \lambda [/mm] erweitert: [mm] ...\gdw \lambda^2*y_2 \ge \bruch{1}{y_1} [/mm] , aber das kann ich nicht zeigen. Bzw. es sieht sogar so aus, als würde das NICHT stimmen (?).
Wenn ich dieses Problem überwunden habe, weiß ich dann leider auch nicht, wie ich die Abgeschlossenheit zeigen soll.
Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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