Summe von Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 10.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Finde Basen der Summe [mm] W_{1} [/mm] + [mm] W_{2} [/mm] und des Durchschnitts [mm] W_{1} \cap W_{2} [/mm] für die Untervektorräume [mm] W_{1} [/mm] = [mm] span(a_{1},a_{2},a_{3}) [/mm] und [mm] W_{2} [/mm] = [mm] span(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] des [mm] \IR^{4}, [/mm] wobei
[mm] a_{1}=\vektor{1\\1\\1\\1}, a_{2}=\vektor{1\\-1\\1\\-1}, a_{3}=\vektor{1\\3\\1\\3} [/mm]
[mm] b_{1}=\vektor{1\\2\\0\\2}, b_{2}=\vektor{1\\2\\1\\2}, b_{3}=\vektor{3\\1\\3\\1} [/mm] |
Hallo Zusammen
Um eine Basis für die beiden Unterräume zu finden, schaue ich zuerst ob die Unterräume gleich sind:
Dazu überprüfe ich die Determinante, derjenigen Matrix die entsteht, wenn ich alle Basisvektoren des einen Unterraums mit je einem der Basisvektoren des anderen Unterraums kombiniere. Ist die Determinante in jedem Fall gleich Null, dann sind beiden Unterräume gleich.
In diesem Beispiel ist das so, deshalb kann ich die Basisvektoren von z.B [mm] W_{1} [/mm] nehmen, auf lineare Unabhängigkeit überprüfen und noch zu einer Basis ergänzen!
Was ist aber mit [mm] W_{1} \cut W_{2}? [/mm] Wie gehe ich da vor?
Danke und Gruss
Franhu
|
|
| |
|
Hallo Franhu,
> Finde Basen der Summe [mm]W_{1}[/mm] + [mm]W_{2}[/mm] und des Durchschnitts
> [mm]W_{1} \cap W_{2}[/mm] für die Untervektorräume [mm]W_{1}[/mm] =
> [mm]span(a_{1},a_{2},a_{3})[/mm] und [mm]W_{2}[/mm] = [mm]span(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm]
> des [mm]\IR^{4},[/mm] wobei
> [mm]a_{1}=\vektor{1\\1\\1\\1}, a_{2}=\vektor{1\\-1\\1\\-1}, a_{3}=\vektor{1\\3\\1\\3}[/mm]
> [mm]b_{1}=\vektor{1\\2\\0\\2}, b_{2}=\vektor{1\\2\\1\\2}, b_{3}=\vektor{3\\1\\3\\1}[/mm]
>
> Hallo Zusammen
>
> Um eine Basis für die beiden Unterräume zu finden, schaue
> ich zuerst ob die Unterräume gleich sind:
>
> Dazu überprüfe ich die Determinante, derjenigen Matrix
> die entsteht, wenn ich alle Basisvektoren des einen
> Unterraums mit je einem der Basisvektoren des anderen
> Unterraums kombiniere. Ist die Determinante in jedem Fall
> gleich Null, dann sind beiden Unterräume gleich.
Es ist aber nicht gesagt, daß beide Unterräume
die gleiche Dimension haben.
> In diesem Beispiel ist das so, deshalb kann ich die
> Basisvektoren von z.B [mm]W_{1}[/mm] nehmen, auf lineare
> Unabhängigkeit überprüfen und noch zu einer Basis
> ergänzen!
>
> Was ist aber mit [mm]W_{1} \cut W_{2}?[/mm] Wie gehe ich da vor?
>
Hier meinst Du doch bestimmt [mm]W_{1} \blue{\cap} W_{2}[/mm]
> Danke und Gruss
>
> Franhu
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 10.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ja genau, ich meine [mm] W_{1} \cap W_{2}.
[/mm]
Wie gehe ich da vor, bzw. was muss ich machen?
gruss Franhu
|
|
|
| |
|
Hallo Franhu,
Um eine Basis von [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_2$ [/mm] zu bestimmen, schreibe die Transponierten der erzeugenden Vektoren alle in eine Matrix untereinander und führe Gauß-Verfahren durch, bis du Dreiecksgestalt hast.
Die überlebenden Vektoren (wieder Zeilen- zu Spaltenvektoren umwandeln) bilden eine Basis von [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_2$.
[/mm]
Ich sage das, weil deine Variante mit den Determinanten sehr langwierig klingt.
> Ja genau, ich meine [mm]W_{1} \cap W_{2}.[/mm]
>
> Wie gehe ich da vor, bzw. was muss ich machen?
Dir bleibt nicht viel anderes übrig, als das folgende LGS zu lösen:
[mm] $\lambda_1 a_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 a_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 a_3 [/mm] = [mm] \mu_1 b_1 [/mm] + [mm] \mu_2 b_2 [/mm] + [mm] \mu_3 b_3$
[/mm]
bzw. mit [mm] $\hat\mu_i [/mm] := [mm] -\mu_i$:
[/mm]
[mm] $\lambda_1 a_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 a_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 a_3 [/mm] + [mm] \hat\mu_1 b_1 [/mm] + [mm] \hat\mu_2 b_2 [/mm] + [mm] \hat\mu_3 b_3 [/mm] = 0$.
Dies entspricht:
[mm] \begin{pmatrix}
| & | & | & | & | & |\\
a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3\\
| & | & | & | & | & |
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \hat\mu_1 \\ \hat\mu_2 \\ \hat\mu_3\end{pmatrix} [/mm] = 0.
Die Lösungen des LGS [mm] (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, [/mm] ...) ergeben dann die Elemente des Schnittvektorraums [mm] $W_1 \cap W_2$ [/mm] (Wichtig: Du brauchst also nur die Lösungen [mm] $\lambda_i$):
[/mm]
[mm] $\lambda_1 a_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 a_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 a_3 \in W_1 \cap W_2$.
[/mm]
Am besten, du rechnest das mal an einem Beispiel durch.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
