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Berechne die Summe:
a) der durch 7 teilbaren natürlichen zahlen n mit 1000< n < 2000.
da habe ich raus [mm] s_n [/mm] =426930
b) aller dreistelligen, durch 17 teilbaren natürlichen Zahlen
da habe ich [mm] s_n=31552 [/mm] raus
stimme den beide ergebnisse?
und bei der c) komme ich nich weiter..
c) der natürlichen Zahlen zwischen 100 und 200, die bei Division durch 5 den Rest 2 lassen..
da hab ich [mm] a_1 [/mm] raus mit 101 und [mm] a_2 [/mm] mit 106...
muss man das so weiter probieren?
aber wie komme ich dann auf ein n bzw. das gesucht [mm] s_n??
[/mm]
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 05.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechne die Summe:
> a) der durch 7 teilbaren natürlichen zahlen n mit 1000< n
> < 2000.
Hallo
Die erste durch 7 teilbare Zahl in diesem Bereich ist 1001 (=143*7), und die letzte ist 1995 (=285*7). Das sind (285-142=) 143 Zahlen, deren Mittelwert 1498 ist. Die Summe all dieser Zahlen ist also 143*1498 (und das ist was anderes als dein Ergebnis).
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> da habe ich raus [mm]s_n[/mm] =426930
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> b) aller dreistelligen, durch 17 teilbaren natürlichen
> Zahlen
Die Kleinste ist 102 (=6*17), die größte ist 986 (=58*17). Das sind 53 Zahlen, deren Mittelwert 544 ist.
Die Summe all dieser Zahlen ist 544*53 (ist auch nicht ganz 31552).
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> da habe ich [mm]s_n=31552[/mm] raus
>
> stimme den beide ergebnisse?
>
> und bei der c) komme ich nich weiter..
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> c) der natürlichen Zahlen zwischen 100 und 200, die bei
> Division durch 5 den Rest 2 lassen..
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> da hab ich [mm]a_1[/mm] raus mit 101 und [mm]a_2[/mm] mit 106...
101:5 =20 Rest 1. Ich denke, es soll Rest 2 sein?
Der erste Summand ist also 102. Deine Summe ist
102+107+112+...+192+197
=(102+0*5) + (102+1*5)+(102+2*5)+ ...+(102+18*5)+(102+19*5)
Du hast also 20mal 102 plus (0+1+2+...+18+19)*5
Gruß
Abakus
> muss man das so weiter probieren?
> aber wie komme ich dann auf ein n bzw. das gesucht [mm]s_n??[/mm]
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> liebe grüße
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> Die erste durch 7 teilbare Zahl in diesem Bereich ist 1001
> (=143*7), und die letzte ist 1995 (=285*7). Das sind
> (285-142=) 143 Zahlen, deren Mittelwert 1498 ist. Die Summe
> all dieser Zahlen ist also 143*1498 (und das ist was
> anderes als dein Ergebnis).
sind es nicht doch 142 zahlen? (285-143) ich glaub du hast dich verschrieben..
aber wie kommst du auf diesen komischen mittelwert?, also wir berechnet man den?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 05.06.2008 | | Autor: | abakus |
> > Die erste durch 7 teilbare Zahl in diesem Bereich ist 1001
> > (=143*7), und die letzte ist 1995 (=285*7). Das sind
> > (285-142=) 143 Zahlen, deren Mittelwert 1498 ist. Die Summe
> > all dieser Zahlen ist also 143*1498 (und das ist was
> > anderes als dein Ergebnis).
>
> sind es nicht doch 142 zahlen? (285-143) ich glaub du hast
> dich verschrieben..
Von 1*7 bis 285*7 sind es 285 Vielfache von 7.
Die Zahlen <1000 fallen raus, also muss ich von den 285 Zahlen die Zahlen von 1*7=7 bis 142*7=994 (und das sind 142 Vielfache von 7) weglassen.
Also 285-142=143.
> aber wie kommst du auf diesen komischen mittelwert?, also
> wir berechnet man den?
>
Wenn du eine ungerade Anzahl von aufeinanderfolgenden Summanden addierst ist die Summe immer ein Vielfaches des mittleren Summanden.
Beispiel: 60+61+62+63+64 sind 5 Summanden, in der Mitte steht 62. 61 und 63 sind 1 kleiner bzw 1 größer als 62, das gleicht sich aus. 60 und 64 haben auch den Mittelwert 62, also kann ich gleich 5*62 rechnen.
Das funktioniert auch, wenn die Zahlen nicht aufeinanderfolgend sind, aber gleiche Abstände haben (wie z.B. in der Folge der Vielfachen von 7).
Die Zahl 1498 (=214*7) liegt genau in der Mitte zwischen (213*7) und (215*7).
Sie liegt auch genau in der Mitte zwischen (212*7) und (216*7) usw, und sie liegt auch genau in der Mitte zwischen dem kleinsten und größten Summanden (1001=143*7 und 1995=285*7).
Deshalb multipliziere ich nur die Anzahl der Summanden mit dem mittleren Summanden.
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