Summen - arithmetisches Mittel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | Zeige, daß
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} (X_{k}-\overline{X})² [/mm] = b) [mm] \summe_{k=1}^{n} (X²_{k}-n*\overline{X²}), [/mm]
wobei
c) [mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}X_{k} [/mm] ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, daß ich den konstanten Faktor von c) verschieben kann. und somit [mm] \overline{X} [/mm] das arithmetische Mittel ist. wenn ich die Summen nun in ihre einzelnen Elemente aufchreibe, kann ich durch "Brüche gleichnamig machen" mit diesen Werten rechnen.
Aber, wie soll ich überhaupt am besten anfangen? a) = b) setzen, a) soweit ausschreiben, daß daraus b) folgt, c) schon dabei einsetzen? Komme irgendwie auf kein richtiges Konzept. Habe schon Seitenweise Möglichkeiten aufgeschrieben und komme nicht auf die Lösung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 16.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tekker,
[mm] \summe_{k=1}^{n} (X_{k}-\overline{X})^2=\summe_{k=1}^{n} (X_k^2-2X_k\overline{X}+\overline{X}^2) [/mm] und weiter
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2 [/mm] und weiter
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-n\overline{X}^2\ne\summe_{k=1}^{n}(X_k^2-n\overline{X}^2)
[/mm]
weil [mm] \summe_{k=1}^{n}X_k=n\overline{X} [/mm] gilt.
Insofern sieht man das Deine Formel auch nicht ganz stimmt.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | | [mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2 [/mm] |
Hi ullim und galileo,
Danke, ihr habt mir sehr geholfen! Könnt ihr mir nur noch erklären, warum man die Summenzeichen in den Zwischenschritten weglassen kann
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2
[/mm]
mfg
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[mm] \summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2\overline{X}\summe_{k=1}^{n} X_k+n\overline{X}^2
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2\overline{X}(n\overline{X})+n\overline{X}^2
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2 [/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 16.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Tekker
Bist du sicher, dass die zu Beweisende Formel nicht Folgende ist:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\left( X_{k}-\overline{X}\right)^{2}=
\summe_{i=1}^{n}X_{k}^{2}-n\cdot \overline{X}^{2}[/mm] ?
Man muss nämlich aufpassen, weil
[mm]\overline{X^{2}}\neq \overline{X}^{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
Jop, hab mich verschrieben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n}\left( X_{k}-\overline{X}\right)^{2}= \summe_{i=1}^{n}X_{k}^{2}-n\cdot \overline{X}^{2} [/mm] |
Du hast Recht,
habe mich verschrieben,
Die Formel lautet so:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left( X_{k}-\overline{X}\right)^{2}= \summe_{i=1}^{n}X_{k}^{2}-n\cdot \overline{X}^{2} [/mm]
Kannst du mir den Unterschied bitte erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 16.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tekker,
Der Unterschied zwischen
[mm] \summe_{k=1}^{n} (X_{k}^2-n\cdot{}\overline{X^2}) [/mm] und
[mm] \summe_{k=1}^{n} X_{k}^2-n\cdot{}\overline{X^2} [/mm] beträgt
[mm] \overline{X^2}(n-n^2)
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | | [mm] \overline{X^{2}}\neq \overline{X}^{2} [/mm] |
Hi ullim,
meinte den Unterschied: [mm] \overline{X^{2}}\neq \overline{X}^{2} [/mm]
Und wie ich dadurch die aufgabe lösen kann
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 16.10.2006 | | Autor: | galileo |
[mm]\overline{X}^{2}=\left(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}X_{k}\right)^{2}[/mm]
[mm]\overline{X^{2}}=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}X_{k}^{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | | [mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2 [/mm] |
Hi ullim und galileo,
Danke, ihr habt mir sehr geholfen! Könnt ihr mir nur noch erklären, warum man die Summenzeichen in den Zwischenschritten weglassen kann
$ [mm] =\summe_{k=1}^{n}X_k^2-\summe_{k=1}^{n} 2X_k\overline{X}+\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2 [/mm] $
mfg
P.S.: sorry, habe die Frage weiter oben nochmal gestellt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 16.10.2006 | | Autor: | galileo |
[mm]
\summe_{k=1}^{n}2X_{k}\overline{X}=2X_{1}\overline{X}
+2X_{2}\overline{X}+2X_{3}\overline{X}+\cdots+2X_{n}\overline{X}=
2\left( X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}\right)\overline{X}
=2\cdot n\overline{X}\cdot\overline{X}
[/mm]
[mm]
\summe_{k=1}^{n}\overline{X}^{2}=
\overline{X}^{2}+\overline{X}^{2}+\overline{X}^{2}
+\cdots +\overline{X}^{2}=n\overline{X}^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 17.10.2006 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-n\overline{X}^2 [/mm] |
Wie kommt man darauf?
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}X_k^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2=\summe_{k=1}^{n}X_k^2-n\overline{X}^2[/mm]
> Wie kommt man darauf?
Weil -2n+n=-n
Gruß v. Angela
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