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Forum "Lineare Abbildungen" - Summen,R^4
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Summen,R^4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Di 21.02.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Betrachte die beiden Teilräume von [mm] \IR^4: [/mm]
[mm] W=<\vektor{1\\ 1\\0\\0},\vektor{2\\ 3\\0\\0}>und [/mm]
[mm] W'=<\vektor{1\\ -1\\2\\5},\vektor{-1\\ 1\\1\\3}> [/mm]
Zeigen [mm] \IR^4=W \oplus [/mm] W'

W [mm] \cap [/mm] W' [mm] =\{0\} [/mm] hab ich gezeigt
W= [mm] \{ \lambda_1 * \vektor{1\\ 1\\0\\0} + \lambda_2 *\vektor{2\\ 3\\0\\0}| \lambda_1 , \lambda_2 \in \IR \} [/mm]
W'= [mm] \{ s_1 * \vektor{1\\ -1\\2\\5} + s_2 *\vektor{-1\\ 1\\1\\3}| s_1 , s_2 \in \IR \} [/mm]
Ich hänge aber bei W + W'= [mm] \IR^4 [/mm]
Sei [mm] \vektor{x\\ y\\z\\a} \in \IR^4 [/mm] beliebig
[mm] ZZ.:\vektor{x\\ y\\z\\a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} [/mm] + [mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} [/mm] wobei
[mm] \vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} \in [/mm] W
[mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} \in [/mm] W'

        
Bezug
Summen,R^4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 21.02.2012
Autor: leduart

Hallo
du musst nur zeigen, dass die 4 Vektoren lin unabhängig sind, denn dann spannen sie ja [mm] \IR^4 [/mm] auf.
wie hast du denn W $ [mm] \cap [/mm] $ W' $ [mm] =\{0\} [/mm] $  gezeigt?
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Summen,R^4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Di 21.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Betrachte die beiden Teilräume von [mm]\IR^4:[/mm]
>  [mm]W=<\vektor{1\\ 1\\ 0\\ 0},\vektor{2\\ 3\\ 0\\ 0}>und[/mm]
>  
> [mm]W'=<\vektor{1\\ -1\\ 2\\ 5},\vektor{-1\\ 1\\ 1\\ 3}>[/mm]
>  Zeigen
> [mm]\IR^4=W \oplus[/mm] W'
>  W [mm]\cap[/mm] W' [mm]=\{0\}[/mm] hab ich gezeigt

Hallo,

offensichtlich haben W und  W' beide die Dimension 2.

Nach der Dimensionsformel     [mm] \dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 [/mm] + [mm] \dim V_2 [/mm] - [mm] \dim\left(V_1\cap V_2\right) [/mm] ,
[mm] (V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] sind hier Unterräume eines VRes V),

erhältst Du, daß dim(W+W')=4.

Wenn Du nun bedenkst, daß W+W' ein UVR vom [mm] \IR^4 [/mm] ist, bist Du fertig.


Um aber auch noch auf Deine völlig richtige Lösungsidee einzugehen:


>  W= [mm]\{ \lambda_1 * \vektor{1\\ 1\\ 0\\ 0} + \lambda_2 *\vektor{2\\ 3\\ 0\\ 0}| \lambda_1 , \lambda_2 \in \IR \}[/mm]
>  
> W'= [mm]\{ s_1 * \vektor{1\\ -1\\ 2\\ 5} + s_2 *\vektor{-1\\ 1\\ 1\\ 3}| s_1 , s_2 \in \IR \}[/mm]
>  
> Ich hänge aber bei W + W'= [mm]\IR^4[/mm]
>  Sei [mm]\vektor{x\\ y\\ z\\ a} \in \IR^4[/mm] beliebig
>  [mm]ZZ.:\vektor{x\\ y\\ z\\ a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\ 0\\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\ 2s_1 + s_2\\ 5s_1 + 3s_2}[/mm]

Genau.
Du mußt nun die Parameter [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2 [/mm] in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.
Gelingt Dir dies, so weißt Du, daß es [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, [/mm] s_ gibt, mit denen Du [mm] \vektor{x\\y\\z\\a} [/mm] als Linearkombination der 4 Vektoren von oben schreiben kannst.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Summen,R^4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Mi 22.02.2012
Autor: sissile

Danke für die vielen Lösungsmöglichkeiten.
> offensichtlich haben W und  W' beide die Dimension 2.

weil z.B [mm] \vektor{1\\ 1\\0\\0}und \vektor{2\\ 3\\0\\0} [/mm]  Basen von W sind?

Trotzdem interessiert mich grade die, die ich nicht selbst hinbekomme!

> Du mußt nun die Parameter $ [mm] \lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2 [/mm] $ in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.

Wie finde ich die Paramteter?





Bezug
                        
Bezug
Summen,R^4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Mi 22.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Danke für die vielen Lösungsmöglichkeiten.
>  > offensichtlich haben W und  W' beide die Dimension 2.

> weil z.B [mm]\vektor{1\\ 1\\ 0\\ 0}und \vektor{2\\ 3\\ 0\\ 0}[/mm]  
> Basen von W sind?

Hallo,

Du mußt unbedingt an den Grundlagen arbeiten bzw. Dich präzise ausdrücken, sonst verwirrst Du Dich nur selber.

Die beiden Vektoren bilden gemeinsam eine Basis vom W, und Du solltest auch wissen, warum.
Die beiden Vektoren sind keine Basen, sondern Basisvektoren.

Basen von W wären z.B. [mm] \{\vektor{1\\ 1\\0\\0}, \vektor{2\\ 3\\0\\0} \}, \{\vektor{3\\ 4\\0\\0}, \vektor{1\\ 2\\0\\0} \} [/mm] und [mm] \{\vektor{5\\ 8\\0\\0}, \vektor{3\\ 5\\0\\0} \}. [/mm]

>  
> Trotzdem interessiert mich grade die, die ich nicht selbst
> hinbekomme!
>  
> > Du mußt nun die Parameter [mm]\lambda_1, \lambda_2, s_1, s_2[/mm]
> in Abhängigkeit von x,y,z,a ausrechnen.
>  Wie finde ich die Paramteter?

Indem Du

> > > $ [mm] ZZ.:\vektor{x\\ y\\z\\a} =\vektor{\lambda_1 + 2\lambda_2\\ \lambda_1 +3\lambda_2\\0\\0} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{s_1 - s_2\\ -s_1 + s_2\\2s_1 + s_2\\5s_1 + 3s_2} [/mm] $

als LGS schreibst und nach den 4 Variablen [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] s_i [/mm]  auflöst.
x,y,z,a sind hierbei keine Variablen, sondern wie irgendwelche Zahlen zu behandeln.

LG Angela


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