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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 So 26.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über einem Körper [mm] \IK [/mm] in dem 2 [mm] \not=0 [/mm] gilt. Weiters sei [mm] \delta:V->V [/mm] linear, sodass [mm] \delta \circ \delta [/mm] = [mm] id_V.
[/mm]
Zeige, dass V innere direkte Summe der beiden Teilräume [mm] W_{+} [/mm] = [mm] \{ v \in V: \delta(v)=v\} [/mm] und [mm] W_{-} =\{ v \in V: \delta(v)=-v \} [/mm] ist. |
Ja schon wieder ein BSP zu dem thema^^ Sry
Also
ZZ: [mm] W_{+} \cap W_{-} [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
v [mm] \in W_{+} \cap W_{-}
[/mm]
v [mm] \in W_{+} [/mm] : [mm] \delta(v)=v
[/mm]
und v [mm] \in W_{-}: \delta(v)=-v
[/mm]
[mm] v=\delta(v)=-v [/mm] /+v
2v=0 => v=0
ZZ: [mm] W_{+} [/mm] + [mm] W_{-} [/mm] = V
Ich hab mir da das Bsp mit den geraden und ungeraden Funktionen hergenommen um daraufzukommen:
v [mm] \in [/mm] V
v= [mm] 1/2*(v+\delta(v)) [/mm] + 1/2 [mm] *(v-\delta [/mm] (v))
[mm] ZZ:1/2*(v+\delta(v)) \in W_{+} [/mm] und 1/2 [mm] *(v-\delta [/mm] (v)) [mm] \in W_{-}
[/mm]
[mm] 1/2*(v+\delta(v))= [/mm] 1/v + 1/2 v=v [mm] \in [/mm] V
also kann ich es ins [mm] \delta [/mm] einsetzten
[mm] \delta(1/2*(v+\delta(v))) [/mm] = 1/2 [mm] \delta [/mm] (v) +1/2 [mm] \delta(\delta(v))=1/2v [/mm] + 1/2 v = v
ist den [mm] \delta(\delta(v))=v [/mm] ?
Weil die Funktion "tut auf v nichts und nochmal angewandt auch nicht"
Ich glaub der SChluss stimmt gar nicht ;(
> Beim ZZ: [mm] 1/2*(v+\delta(v)) \in W_{+} [/mm] und 1/2 [mm] *(v-\delta [/mm] (v)) [mm] \in W_{-}
[/mm]
hab ich Probleme, wenn der ansatz stimmt.
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moin sissile,
Der Anfang sieht schonmal ganz gut aus.
Also [mm] $v+\delta(v) \in [/mm] W_+$ und [mm] $v-\delta(v) \in [/mm] W_-$ zu zeigen ist eine gute Idee.
Dann wird das ganze aber etwas chaotisch...
Fang an mit:
[mm] $\delta(v [/mm] + [mm] \delta(v)) [/mm] = [mm] \cdots$
[/mm]
Benutzte die Linearität von [mm] $\delta$ [/mm] und die Tatsache, dass [mm] $\delta^2 [/mm] = id$ um zu zeigen, dass am Schluss $v + [mm] \delta(v)$ [/mm] rauskommt.
Und ja, [mm] $\delta^2 [/mm] = id$ bedeutet [mm] $\delta(\delta(v)) [/mm] = v$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 So 26.02.2012 | | Autor: | sissile |
danke,
Aber schon mit * 1/2? Das kann man ja rausziehen.
[mm] \delta(1/2*(v [/mm] + [mm] \delta(v))) [/mm] = 1/2 * ( [mm] \delta(v) [/mm] + [mm] \delta(\delta(v))=1/2*(\delta(v)+id_v) [/mm] = 1/2 * [mm] (\delta(v)+v)
[/mm]
und
[mm] \delta(1/2*(v -\delta(v))) [/mm] =1/2 [mm] *(\delta(v) -\delta(\delta(v))=1/2*(\delta(v)-id_v) [/mm] = 1/2 * [mm] (\delta(v)-v)
[/mm]
Gut, hätten wir das gezeigt
Nächste Teilfrage dazu: Zeige auch, dass die Projektion [mm] W_{+} [/mm] längs [mm] W_{-} [/mm] und die Projektion auf [mm] W_{-} [/mm] längs [mm] W_{+} [/mm] durch [mm] \pi_{+} [/mm] = 1/2 [mm] *(id_V [/mm] + [mm] \delta) [/mm] bzw. [mm] \pi_{-}=(id_V [/mm] - [mm] \delta)
[/mm]
[mm] (id_V +\delta) (W_1) [/mm] = 2* [mm] id_{W_1}
[/mm]
[mm] (id_V +\delta(W_2) [/mm] = [mm] w_2 [/mm] - [mm] w_2 [/mm] =0
[mm] (id_V +\delta) [/mm] : V->V
(id [mm] +\delta)(v) [/mm] = [mm] 2*id_{W_1} [/mm] + 0
1/2 *(id [mm] +\delta)(v) =id_{W_1} [/mm] = [mm] \pi_{+}(v)
[/mm]
Ich glaub entweder ist es falsch oder ich schreib das zu allgemein hin!!
Liebe Grüße
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> Nächste Teilfrage dazu: Zeige auch, dass die Projektion auf
> [mm]W_{+}[/mm] längs [mm]W_{-}[/mm] [...] durch [mm]\pi_{+}[/mm] = 1/2 [mm]*(id_V[/mm] + [mm]\delta)[/mm] [...]
gegeben ist.
Hallo,
wie habt Ihr eigentlich "Projektion" definiert?
Als idempotente Abbildung? Dann würde ich jetzt grad mal vorrechnen, daß [mm] (\pi_+)^2=\pi_+, [/mm] dh. [mm] (\pi_+)^2(v)=\pi_+(v) [/mm] für alle V [mm] \in [/mm] V.
Bei Deinem nun folgenden Tun sagst Du nicht, was [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] sind, und das darf nicht sein.
> [mm](id_V +\delta) (W_1)[/mm] = 2* [mm]id_{W_1}[/mm]
Wie kann das Bild von [mm] W_1 [/mm] eine Abbildung sein?
> [mm](id_V +\delta(W_2)[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]w_2[/mm] =0
Das Bild einer Menge müßte schon eine Menge sein, oder?
> [mm](id_V +\delta)[/mm] : V->V
> (id [mm]+\delta)(v)[/mm] = [mm]2*id_{W_1}[/mm] + 0
Hm? Der Funktionswert von [mm] v\in [/mm] V ist bei Dir die Summe aus einer Abildung und einem Element aus v. Wie soll das funktionieren?
Du mußt gründlicher arbeiten. So geht das nicht.
Klar, man sieht schon, daß die Grundgedanken klar sind, aber es darf nicht so sein, daß Du die Fantasie Deiner Korrektoren, die sich zusammenreimen müssen, was gemeint sein könnte, strapazierst.
Denn dann gibt's 0 Punkte - auch wenn richtige Gedanken in Deinem Kopf waren.
Du möchtest hier doch eigentlich zeigen, daß
[mm] \pi_+(w_+)=w_+ [/mm] für alle [mm] w_+\in [/mm] W_+
und
[mm] \pi_+(w_-)=0 [/mm] für alle [mm] w_-\in [/mm] W_-, oder?
Dann mach das auch.
Und wenn Du was anderes zeigen willst, sag, was Du zeigen willst und sag', was Deine Zeichen bedeuten.
LG Angela
> 1/2 *(id [mm]+\delta)(v) =id_{W_1}[/mm] = [mm]\pi_{+}(v)[/mm]
>
>
> Ich glaub entweder ist es falsch oder ich schreib das zu
> allgemein hin!!
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 28.02.2012 | | Autor: | sissile |
Hei,
Was ich versucht habe:
Setze Vorraus:
> $ [mm] \pi_+(w_+)=w_+ [/mm] $ für alle $ [mm] w_+\in [/mm] $ W_+
und
> $ [mm] \pi_+(w_-)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] w_-\in [/mm] $ W_-
Und möchte die Formel $ [mm] \pi_{+} [/mm] $ = 1/2 $ [mm] \cdot{}(id_V [/mm] $ + $ [mm] \delta) [/mm] $ zeigen
da [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V v= $ [mm] 1/2\cdot{}(v+\delta(v)) [/mm] $ + 1/2 $ [mm] \cdot{}(v-\delta [/mm] $(v)))
->Habe ich vorher gezeigt
[mm] \pi_+ [/mm] (v) = [mm] \pi_+ [/mm] ($ [mm] 1/2\cdot{}(v+\delta(v)) [/mm] $ + 1/2 $ [mm] \cdot{}(v-\delta [/mm] $(v)))= 1/2 (v + [mm] \delta(v)) [/mm] = 1/2 [mm] (id_v +\delta(v)) [/mm]
Falsche Herangehensweise?
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> Hei,
>
> Was ich versucht habe:
> Setze Vorraus:
> > [mm]\pi_+(w_+)=w_+[/mm] für alle [mm]w_+\in[/mm] W_+
> und
> > [mm]\pi_+(w_-)=0[/mm] für alle [mm]w_-\in[/mm] W_-
> Und möchte die Formel [mm]\pi_{+}[/mm] = 1/2 [mm]\cdot{}(id_V[/mm] + [mm]\delta)[/mm] zeigen
Hallo,
obgleich Du hier richtige Bauklötze hingelegt hast, ist das völlig falsch!
Du sollst doch zeigen, daß die durch [mm] $\pi_{+}$ [/mm] := 1/2 [mm] $\cdot{}(id_V$ [/mm] + [mm] $\delta)$ [/mm] definierte Abbildung die Projektion von V auf W_+ längs W_- ist.
Nun hast Du leider immer noch nicht verraten, wie Ihr "Projektion" definiert habt - wenn man Aufgaben lösen will, muß man das wissen, und zum Helfen wär's auch nicht schlecht...
Nun, ich denke mal, daß Ihr gesagt habt, daß die Projektion von [mm] V=W\oplus [/mm] U auf W längs U die lineare Abbildung ist, für welche bild(W)=W und [mm] Bild(U)=\{0\} [/mm] ist.
Du mußt aso erstmal ein Wörtchen über die Linearität verlieren. Muß nicht viel sein.
Für die Bilder zeige (nicht: setze voraus), daß
[mm] $\pi_+(w_+)=w_+$ [/mm] für alle [mm] $w_+\in$ [/mm] W_+
und
[mm] $\pi_+(w_-)=0$ [/mm] für alle [mm] $w_-\in$ [/mm] W_-.
(Das ist wirklich pipieinfach zu bewerkstelligen.)
Damit hast Du dann nämlich
[mm] $\pi_+(W_+)=W_+$ [/mm]
und
[mm] $\pi_+(W_-)=\{0\}$.
[/mm]
>
> da [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V v= [mm]1/2\cdot{}(v+\delta(v))[/mm] + 1/2
> [mm]\cdot{}(v-\delta [/mm](v)))
> ->Habe ich vorher gezeigt
> [mm]\pi_+[/mm] (v) = [mm]\pi_+[/mm] ([mm] 1/2\cdot{}(v+\delta(v))[/mm] + 1/2 [mm]\cdot{}(v-\delta [/mm](v)))= 1/2 (v + [mm]\delta(v))[/mm] = 1/2 [mm](id_v +\delta(v))[/mm]
> Falsche Herangehensweise?
Ja. Du sagst hier die Abbildungsvorschrift , also worauf v vermöge [mm] \pi_- [/mm] abgebildet wird, aber ich sehe nicht, daß hier eine Argumentation aufgebaut wird, der man entnehmen kann, daß [mm] \pi_- [/mm] eine Projektion ist.
Sicher könnte man hier nun weiterarbeiten und noch eine solche Argumentation entwickeln - aber nur, wenn man wirklich weiß, was man zeigen möchte.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 29.02.2012 | | Autor: | sissile |
> Zeige auch, dass die Projektion $ [mm] W_{+} [/mm] $ längs $ [mm] W_{-} [/mm] $ und die Projektion auf $ [mm] W_{-} [/mm] $ längs $ [mm] W_{+} [/mm] $ durch $ [mm] \pi_{+} [/mm] $ = 1/2 $ [mm] \cdot{}(id_V [/mm] $ + $ [mm] \delta) [/mm] $ bzw. $ [mm] \pi_{-}=1/2(id_V [/mm] $ - $ [mm] \delta) [/mm] $
Definition Projektor:
[mm] \pi [/mm] : V->V heißt Projektor wenn gilt [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi \circ \pi
[/mm]
Für die Projektionen
[mm] \pi_+ [/mm] : V -> [mm] W_{+} \subseteq [/mm] V
[mm] \pi_- [/mm] : V -> [mm] W_{-} \subseteq [/mm] V
ist [mm] \pi_+ [/mm] (V) =1/2 * (v + [mm] \delta(v))
[/mm]
[mm] \pi_- [/mm] (V) =1/2 * (v - [mm] \delta(v))
[/mm]
Die Spiegelun an $ [mm] W_{+} [/mm] $ längs $ [mm] W_{-} [/mm] $ ist $ [mm] \delta= \pi_+ [/mm] $ - $ [mm] \pi_- [/mm] $
"Das Pipi-einfache" mag mir aber nicht gelingen -.-
> Nun, ich denke mal, daß Ihr gesagt habt, daß die Projektion von $ [mm] V=W\oplus [/mm] $ U auf W längs U die lineare Abbildung ist, für welche bild(W)=W und $ [mm] Bild(U)=\{0\} [/mm] $ ist.
img(W)=W
img(U) [mm] =\{0\}
[/mm]
> Du mußt aso erstmal ein Wörtchen über die Linearität (VON?) verlieren. Muß nicht viel sein.
Meinst du die Projektion? Ja die ist linear.
[mm] \pi \left(a x\right) [/mm] = a [mm] \pi \left(x\right)
[/mm]
[mm] \pi \left(x+y\right)=\pi\left(x\right)+\pi\left(y\right)
[/mm]
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Hallo,
Du hattest
$ [mm] \delta:V->V [/mm] $ linear [mm] \delta \circ \delta [/mm] = [mm] id_V,
[/mm]
$ [mm] W_{+} [/mm] $ := $ [mm] \{ v \in V: \delta(v)=v\} [/mm] $,
$ [mm] W_{-} :=\{ v \in V: \delta(v)=-v \} [/mm] $,
und [mm] V=W_+\oplus [/mm] W_-.
Gezeigt werden soll nun, daß die durch
[mm] $\pi_{+}$ [/mm] := [mm] 1/2$\cdot{}(id_V$ [/mm] + [mm] $\delta)$ [/mm]
definierte Abbildung die Projektion auf W_+ längs W_- ist.
> Definition Projektor:
> [mm]\pi[/mm] : V->V heißt Projektor wenn gilt [mm]\pi[/mm] = [mm]\pi \circ \pi[/mm]
Du hast sicher vergessen zu erwähnen, daß es sich bei [mm] \pi [/mm] um eine lineare Abbildung handeln muß-.
Damit ist doch schon einiges klar, was zu zeigen ist:
Sag', warum [mm] \pi_+ [/mm] linear ist, dh. gib eine Begründung oder rechne es vor,
und mach dann vor, daß [mm] \pi_+\circ\pi_+=\pi_+.
[/mm]
Für "Projektion auf W_+" rechne vor, daß
[mm] \pi_+(W_+)=W_+ [/mm] ist.
Das tust Du am besten, indem Du zeigst, daß für alle [mm] w_+\in [/mm] W_+ gilt [mm] \pi_+(w_+)=w_+.
[/mm]
Sei also [mm] w_+\in [/mm] W_+.
Jetzt mußt Du mal feststellen, welche Eigenschaften die Elemente aus W_+ haben.
Und dann: [mm] \pi_+(w_+)= [/mm] ...
Für [mm] \pi_+(W_-)=\{0\} [/mm] entsprechend.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 03.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Sag', warum $ [mm] \pi_+ [/mm] $ linear ist, dh. gib eine Begründung
[mm] id_v [/mm] sowie [mm] \delta [/mm] sind lineare Abbildungen.
Die Linearen Abbildungen bilden einen Teilraum der ABbildungen. [mm] L(V,V)\subseteq [/mm] F(V,V)
Also ist die Summe zweier linearen Abbildungen wieder eine lineare Abbildung. Sowie die Multiplikation mit einem Vielfachen (hier 1/2) wieder linear.
[mm] id_V, \delta \in [/mm] L(V,V) dann ist auch [mm] id_V [/mm] + [mm] \delta \in [/mm] L(V,V)
[mm] id_V [/mm] + [mm] \delta \in [/mm] L(V,V) dann ist auch [mm] \lambda [/mm] * [mm] (id_V [/mm] + [mm] \delta) \in [/mm] L(V,V)
> und mach dann vor, daß $ [mm] \pi_+\circ\pi_+=\pi_+. [/mm] $
(1/2 [mm] \cdot{}(id_V [/mm] $ + $ [mm] \delta)) \circ [/mm] (1/2 [mm] \cdot{}(id_V [/mm] $ + $ [mm] \delta))= [/mm] 1/2*( [mm] id_V \circ id_V [/mm] + [mm] id_V \circ \delta [/mm] + [mm] \delta \circ id_V [/mm] + [mm] \delta \circ \delta) [/mm] = 1/2 * [mm] (id_V [/mm] + [mm] id_V \circ \delta [/mm] + [mm] \delta \circ id_V +id_V)
[/mm]
weil [mm] \delta \circ \delta [/mm] = [mm] id_V
[/mm]
und [mm] id_V \circ id_v [/mm] = [mm] id_V
[/mm]
Ich weiß du muss mich für bekloppt halten, aber wie gehts denn dann weiter?
> Das tust Du am besten, indem Du zeigst, daß für alle $ [mm] w_+\in [/mm] $ W_+ gilt $ [mm] \pi_+(w_+)=w_+. [/mm] $
Sei also $ [mm] w_+\in [/mm] $ W_+. d.h. [mm] \delta(w_+)=w_+
[/mm]
Und dann: $ [mm] \pi_+(w_+)= \pi_+(\delta(w_+))= \pi_+ \circ \delta [/mm] (w_+)
Was ist denn [mm] \pi_+ \circ \delta
[/mm]
Ach, ich krieg das nicht wirklich hin...
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> > Sag', warum [mm]\pi_+[/mm] linear ist, dh. gib eine Begründung
> [mm]id_v[/mm] sowie [mm]\delta[/mm] sind lineare Abbildungen.
> Die Linearen Abbildungen bilden einen Teilraum der
> ABbildungen. [mm]L(V,V)\subseteq[/mm] F(V,V)
> Also ist die Summe zweier linearen Abbildungen wieder eine
> lineare Abbildung. Sowie die Multiplikation mit einem
> Vielfachen Skalar (hier 1/2) wieder linear.
Hallo,
ja, so kann man es begründen.
> > und mach dann vor, daß [mm]\pi_+\circ\pi_+=\pi_+.[/mm]
> (1/2 [mm]\cdot{}(id_V[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\delta)) \circ[/mm] (1/2 [mm]\cdot{}(id_V[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\delta))=[/mm]
> 1/2*( [mm]id_V \circ id_V[/mm] + [mm]id_V \circ \delta[/mm] + [mm]\delta \circ id_V[/mm] + [mm]\delta \circ \delta)[/mm]
> = 1/2 * [mm](id_V[/mm] + [mm]id_V \circ \delta[/mm] + [mm]\delta \circ id_V +id_V)[/mm]
Mal abgesehen davon, daß Deine Umformung ein Fehlerchen enthält:
worauf berufst Du Dich hier? Warum kannst Du so umformen? (War das dran?)
Ich wäre das eher elementweise angegangen: sei [mm] v\in [/mm] V.
Es ist
[(1/2 [mm]\cdot{}(id_V[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\delta)) \circ[/mm] (1/2 [mm]\cdot{}(id_V[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\delta))](v)=...[/mm]
> weil [mm]\delta \circ \delta[/mm]
> = [mm]id_V[/mm]
> und [mm]id_V \circ id_v[/mm] = [mm]id_V[/mm]
> Ich weiß du muss mich für bekloppt halten,
> aber wie
> gehts denn dann weiter?
Du mußt über [mm] $id_V \circ \delta$ [/mm] und [mm] $\delta \circ id_V$ [/mm] nachdenken.
>
> > Das tust Du am besten, indem Du zeigst, daß für alle
> [mm]w_+\in[/mm] W_+ gilt [mm]\pi_+(w_+)=w_+.[/mm]
>
> Sei also [mm]w_+\in[/mm] W_+. d.h. [mm]\delta(w_+)=w_+[/mm]
> Und dann: $ [mm]\pi_+(w_+)= \pi_+(\delta(w_+))= \pi_+ \circ \delta[/mm](w_+)
Hast Du inzwischen vergessen, wie [mm] \pi_+ [/mm] definiert ist, oder warum wendest Du die Def. nicht an?
[mm] \pi_+(w_+)=(...)(w_+)=...
[/mm]
LG Angela
> Was ist denn [mm]\pi_+ \circ \delta[/mm]
>
> Ach, ich krieg das nicht wirklich hin...
>
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