Summenformel für Potenzreihe gesucht < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:11 Mi 11.08.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo liebe Boarduser,
habe eine neue math. Frage. Gibt es eigentlich eine Summenformel für diese Potenzreihe:
[mm] \summe_{k=1}^n k^k = 1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + ... + {(n - 2)}^{(n - 2)} + {(n - 1)}^{(n - 1)} + n^n \qquad k,n \in\IN [/mm]
Dabei denke ich an eine Summenformel in der Art wie beispielsweise für die Summe der 5. Potenzen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^5 = 1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... = \frac{n^2}{6} \left(n^4 + 3n^3 + \frac{5n^2}{2} - \frac{1}{2} \right) [/mm]
Ich bin KEIN Schüler oder Student, sondern interessiere mich nur als Privatperson ein wenig für Mathematik.
Ich habe diese Frage noch in keinem weiteren Forum gestellt.
Gruß
leaven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Do 12.08.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo Josef,
danke für Deine Antwort!
Werde mir mal die PDF-Datei mal näher anschauen und nebenbei ein wenig "googeln".
Gruß
leaven
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HI!
Habe die Summe mal in Maple (Computeralgebrasystem) eingegeben, welches mir üblicherweise dann die Summenformel verrät. Hier kannte es keine. Also existiert wahrscheinlich keine.
Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 20.08.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo matherammel,
zunächst vielen Dank für Deine Antwort!
Ich gebe Dir Recht, wenn ein so mächtiges Programm wie MAPLE keine Summenformel gefunden hat, das dies bedeuten kann, dass wahrscheinlich keine Lösung existiert - und genau das hatte ich befürchtet.
Josef war so freundlich mir bei diesem Problem zu helfen. Allerdings haben die beiden Links seinerseits und das Googeln meinerseits mich der Lösung leider nicht näher gebracht. Ich habe bei den vielen veröffentlichten Facharbeiten ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") , Dissertationen usw. keine Summenformel entdecken können, bei der genau dieser Fall in irgendeiner Weise behandelt wird.
Somit gibt es mal wieder die drei Möglichkeiten:
1. Es lässt sich keine Formel dafür konstruieren.
2. Die Formel existiert, wurde aber noch nicht bewiesen/veröffentlicht.
3. Man wird sich wohl selbst daran versuchen müssen! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Dies ist schon mein zweites ungelöstes math. Problem in diesem Forum. Vielleicht hätte ich David Hilbert wohl doch besser davon überzeugen sollen, diese auf seine berühmte Liste der ![[]](/images/popup.gif) 23 ungelösten Probleme der Mathematik, dass wären es 25 Probleme...
Auf jeden Fall, Danke für Eure Hilfe!
Gruß
leaven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 20.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven!
Vielleicht sollten wir dein Problem einmal mathematisch präzisieren, bevor wir es in Hilbert's Liste aufnehmen.
Sehe ich das richtig: Du willst wissen, ob es ein Polynom $p(X) [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] gibt mit
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n k^k [/mm] = p(n)$.
Falls du das nicht wissen wolltest: Was dann, mathematisch präzise ausgedrückt?
Falls du das wissen wolltest: Ein solches Polynom kann es nicht geben. Das sieht man schon am asymptotischen Verhalten. Für genügend große $n$ gilt auf jeden Fall für ein festes, aber beliebiges Polynom $p(X) [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] die Beziehung:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n k^k [/mm] > p(n)$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 23.08.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo stefan,
herzlichen Dank für Deine Antwort...
...und sorry ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") , dass ich mich erst jetzt und so spät gemeldet habe.
Um Deine Frage zu beantworten: Ja, ich wollte wissen, ob es ein Polynom [mm] p(X) \in \IQ[X] [/mm] gibt, für das gilt
[mm] \sum\limits_{k=1}^n k^k = p(n) [/mm]
Wenn ich es also richtig verstanden habe, ist die Konstruktion eines solchen Polynoms nicht möglich.
Auf die Gefahr hin, dass ich's immer noch nicht kapiert habe:
Lässt sich Deine Aussage auch darauf übertragen, dass es somit auch für
[mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^k} = 1{,}291285997...[/mm]
keine Summenformel geben kann?
(...oder sollte diese Frage besser in einem neuen Strang diskutiert werden?)
Gruß
leaven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven!
> herzlichen Dank für Deine Antwort...
> ...und sorry , dass ich mich erst jetzt und so spät
> gemeldet habe.
Kein Problem. 
> Um Deine Frage zu beantworten: Ja, ich wollte wissen, ob es
> ein Polynom [mm]p(X) \in \IQ[X][/mm] gibt, für das gilt
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^n k^k = p(n)[/mm]
> Wenn ich es also richtig
> verstanden habe, ist die Konstruktion eines solchen
> Polynoms nicht möglich.
Stimmt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wegen
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\sum\limits_{k=1}^n k^k} [/mm] = 0$.
> Auf die Gefahr hin, dass ich's immer noch nicht kapiert
> habe:
Wenn du es nicht genau verstanden hast, dann frage bitte unbedingt nach. Wenn sich hier jemand blamiert, dann bin das allerhöchstens ich.
> Lässt sich Deine Aussage auch darauf übertragen, dass es
> somit auch für
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^k} = 1{,}291285997...[/mm]
>
> keine Summenformel geben kann?
Nein, das lässt sich so nicht übertragen.
> (...oder sollte diese Frage besser in einem neuen Strang
> diskutiert werden?)
Wir können es auch hier lassen, denn es ist ja stark themenverwandt. Deine Frage ist also:
Gibt es ein Polynom $p(x) [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] mit
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^k} [/mm] =p(n)$
für alle $n [mm] \in \IN$?
[/mm]
Das muss ich mir jetzt erst einmal anschauen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo leaven!
> Lässt sich Deine Aussage auch darauf übertragen, dass es
> somit auch für
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^k} = 1{,}291285997...[/mm]
>
> keine Summenformel geben kann?
Also: Es kann offenbar kein Polynom $p(X) [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] geben mit
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^k} =p(n)[/mm].
Denn es gilt notwendigerweise
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} |p(n)|=+\infty$,
[/mm]
während aber
$0 [mm] \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^k} \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
