Summenformel gesucht < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:14 Mo 19.04.2010 | | Autor: | noprop |
Hallo!
Ich suche eine Summenformel für eine Menge von endlichen Reihen, die Reihen mit Binomialkoeffizienten ähneln. Zur besseren Vergleichbarkeit erst einmal eine gewöhnliche Reihe mit Binomialkoeffizienten:
[mm] \bruch{n!}{0!\*(n-0)!}\*1^{n-0}*2^0+\bruch{n!}{1!\*(n-1)!}\*1^{n-1}*2^1+\bruch{n!}{2!\*(n-2)!}\*1^{n-2}*2^2+...+\bruch{n!}{n!\*(n-n)!}\*1^{n-n}*2^{n-0}=(1+2)^n
[/mm]
Meine Reihe verwendet nun nicht die Binomialkoeffizienten von ein- und derselben Zeile im Pascalschen Dreieck, sondern erst einmal nur die ersten 3 von einer Zeile n, springt dann vom Koeffizienten k der Zeile n zum Koeffizienten k+1 der Zeile n-1, nimmt von dort zwei Koeffizienten, springt dann wieder auf die vorhergehende Zeile usw. bis sie am Ende auf der anderen Seite des Pascalschen Dreiecks angekommen ist. Zur besseren Anschaulichkeit gebe ich zwei Reihen für n=8 und n=9 statt einer allgemeinen Definition an.
n=8:
[mm] \bruch{8!}{0!\*(8-0)!}\*2^8+
[/mm]
[mm] \bruch{8!}{1!\*(8-1)!}\*2^7+\bruch{8!}{2!\*(8-2)!}\*2^7+
[/mm]
[mm] \bruch{7!}{3!\*(7-3)!}\*2^6+\bruch{7!}{4!\*(7-4)!}\*2^6+
[/mm]
[mm] \bruch{6!}{5!\*(6-5)!}\*2^5+\bruch{6!}{6!\*(6-6)!}\*2^5
[/mm]
n=9:
[mm] \bruch{9!}{0!\*(9-0)!}\*2^9+
[/mm]
[mm] \bruch{9!}{1!\*(9-1)!}\*2^8+\bruch{9!}{2!\*(9-2)!}\*2^8+
[/mm]
[mm] \bruch{8!}{3!\*(8-3)!}\*2^7+\bruch{8!}{4!\*(8-4)!}\*2^7+
[/mm]
[mm] \bruch{7!}{5!\*(7-5)!}\*2^6+\bruch{7!}{6!\*(7-6)!}\*2^6
[/mm]
Ich habe hier die Glieder der Reihen auf eigene Zeilen aufgeteilt, so dass in einer Zeile nur Glieder mit dem gleichen n und mit der gleichen 2er-Potenz stehen. Das n ist hier also nicht konstant wie bei einer gewöhnlichen Reihe mit Binomialkoeffizienten und für zwei aufeinanderfolgende n ist die Anzahl der Glieder auch konstant, weil es zwei Fälle gibt, in denen das Ende des Pascalschen Dreiecks erreicht ist: Entweder gibt es in derselben Zeile keinen Koeffizienten mehr oder in der vorhergehenden Zeile gibt es keinen Koeffizienten k+1 mehr.
Ich bin Informatiker, kein Mathematiker und daher mit den Feinheiten der Kombinatorik nicht so tief vertraut wie das bei einem Mathematiker sicherlich der Fall ist. Mir wäre schon geholfen, wenn ich einen Hinweis bekommen würde, welches Teilgebiet bzw. welcher Autor sich mit diesem Problemtyp befasst. Ich vermute mal, dass die Frage nach Summenformeln für die verschiedensten Teilsummen von Koeffizienten im Pascalschen Dreieck bereits eingehend bearbeitet wurde.
Am besten wäre natürlich ein konkreter Lösungsansatz. Es würde ja schon ausreichen, das erste Glied einfach wegzulassen und nur für die linke oder rechte Seite der Summen eine Summenformel zu finden, daran würde ich den Weg schon erkennen können.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:24 Di 27.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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