Summenzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 24.03.2009 | | Autor: | berney |
| Aufgabe | Hallo Forum.
Ich bin neu hier und hab da eine Frage zur folgender Aufgabe:
[mm] \sum_{k=1}^{3} \sum_{i=-k}^{k} [/mm] (i*x+1)
als Lösung wird folgendes Vorgehen gegeben:
1. [mm] \sum_{k=1}^{3}(x\sum_{i=-k}^{k}i+\sum_{i=-k}^{k} [/mm] 1)
2. [mm] \sum_{k=1}^{3}(x\underbrace{\sum_{i=-k}}_{=0}i [/mm] + [mm] \underbrace{\sum_{i=-k}^{k}}_{2i+1}1)
[/mm]
3. [mm] \sum_{k=1}^{3}(2k+1) [/mm] = 3 + 5 + 7 = 15 |
Mein Problem ist nun woher stammen die 2 Terme, bzw- wie wurden diese gebildet:
[mm] (x\underbrace{\sum_{i=-k}}_{=0}i [/mm] + [mm] \underbrace{\sum_{i=-k}^{k}}_{2i+1}1)
[/mm]
{=0} und {2i+1}
Ich komme da weder mit Indexverschiebung noch sonst irgendwie auf die Lösung. Könnt ihr mir weiterhelfen?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 24.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Forum.
> Ich bin neu hier und hab da eine Frage zur folgender
> Aufgabe:
> [mm]\sum_{k=1}^{3} \sum_{i=-k}^{k}[/mm] (i*x+1)
Hallo, das bedeutet
(-1)*x+1 + 0*x+1 + 1*x+1
+
(-2)*x+1 +(-1)*x+1 + 0*x+1 + 1*x+1 + 2*x+1
+
(-3)*x + 1 + (-2)*x+1 +(-1)*x+1 + 0*x+1 + 1*x+1 + 2*x+1 + 3*x+1
=
x(-1 + 0 + 1) + (1+1+1)
+
x(-2 +(-1) + 0 + 1 + 2) + (1+1+1+1+1)
+
x(-3+(-2) +(-1) + 0 + 1 + 2+3) + (1+1+1+1+1+1+1)
In jeder der 3 Zeilen kannst du die Zeilensumme in zwei Teile aufspalten und im vorderen Teil das x aus der Summe ausklammern.
Gruß Abakus
> als Lösung wird folgendes Vorgehen gegeben:
>
> 1. [mm]\sum_{k=1}^{3}(x\sum_{i=-k}^{k}i+\sum_{i=-k}^{k}[/mm] 1)
>
> 2. [mm]\sum_{k=1}^{3}(x\underbrace{\sum_{i=-k}}_{=0}i[/mm] +
> [mm]\underbrace{\sum_{i=-k}^{k}}_{2i+1}1)[/mm]
>
> 3. [mm]\sum_{k=1}^{3}(2k+1)[/mm] = 3 + 5 + 7 = 15
> Mein Problem ist nun woher stammen die 2 Terme, bzw- wie
> wurden diese gebildet:
> [mm](x\underbrace{\sum_{i=-k}}_{=0}i[/mm] +
> [mm]\underbrace{\sum_{i=-k}^{k}}_{2i+1}1)[/mm]
>
> {=0} und {2i+1}
>
> Ich komme da weder mit Indexverschiebung noch sonst
> irgendwie auf die Lösung. Könnt ihr mir weiterhelfen?
>
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 24.03.2009 | | Autor: | berney |
Hallo Abakus,
Danke für deine rasche Reaktion. Wenn ich in die gegebene Aufgabe die Zahlen von 0 - 3 bzw. -1 - -3 komme ich auch auf die von dir gezeigte Antwort, aber mich wundert wie die 2 Terme entstanden sind.
Mir geht es darum zu verstehen wie dies passiert. Bei kleinen Index kann die Berechnung schon noch von Hand bzw. Kopf gemacht werden, aber mit wachsendem i wird das immer komplexer. Daher muss ich schon wissen, wie dies entsteht.
Gruss Berney
|
|
|
| |
|
Eigentlich sind die Umformungen "Tricks" aus den Anfängen der Addition, denn nichts anderes als macht man an dieser Stelle.
1. $ [mm] \sum_{k=1}^{3}(x\sum_{i=-k}^{k}i+\sum_{i=-k}^{k} [/mm] $ 1)
Dieser Schritt ist möglich, weil das Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten. In jedem Durchlauf der Summe summierst du immer x*i + 1, d.h. da steht dann so etwas wie:
x*(-k) + 1 + x* (-k+1) + 1 usw. und man sortiert einfach um:
x*(-k) + x*(-k+1) + 1 + 1 usw. und dann klammert man das x noch aus:
x*( -k + (-k+1)) + 1 +1 usw.
Wenn du das wieder in der Summennotation schreibst, erhälst du genau diese erste Formulierung.
2. $ [mm] \sum_{k=1}^{3}(x\underbrace{\sum_{i=-k}}_{=0}i [/mm] $ + $ [mm] \underbrace{\sum_{i=-k}^{k}}_{2i+1}1) [/mm] $
So, die Summe über die i gibt 0, weil man von -k bis +k alle Zahlen addiert, d.h. jeweils eine Zahl und ihre Gegenzahl, was sich dann eben paarweise immer aufhebt.
In der zweiten Summe steht ja nur 1 + 1 + 1 + 1 +.... und das passiert für den Index, der von -k bis +k läuft, d.h. da wird 2k+1 mal die 1 summiert und das ergibt die 2k + 1.
Damit bleibt nun:
3. $ [mm] \sum_{k=1}^{3}(2k+1) [/mm] $
stehen.
Auch da könnte man jetzt wieder das anwenden, was man im ersten Schritt schon benutzt hat und das so schreiben:
$ [mm] 2*\sum_{k=1}^{3}k [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{3}1 [/mm] $
Das lässt sich jetzt auch unabhängig von der oberen Grenze des Index leichter behandeln:
$ [mm] 2*\sum_{k=1}^{n}k [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}1 [/mm] $
Denn die hintere Summe ergibt gerade n, weil dort n-mal die 1 addiert wird. Die vordere Summe ergibt (dank Gauss): [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}.
[/mm]
Das ist dann schon ein netter einfacher Term  .
Ich hoffe, ich hab die Frage richtig verstanden.
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 24.03.2009 | | Autor: | berney |
Hallo weightgainer,
Danke für die Ausführliche Aufstellung. Nun ist es klar. Dank deinem Hinweis:
So, die Summe über die i gibt 0, weil man von -k bis +k alle Zahlen addiert, d.h. jeweils eine Zahl und ihre Gegenzahl, was sich dann eben paarweise immer aufhebt.
In der zweiten Summe steht ja nur 1 + 1 + 1 + 1 +.... und das passiert für den Index, der von -k bis +k läuft, d.h. da wird 2k+1 mal die 1 summiert und das ergibt die 2k + 1.
Nun sind die 2 Terme klar. So stimmt es nun auch für mich.
Gruss Berney
|
|
|
|
