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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ich soll das Supremum und Infimum, Maximum und Minimum bestimmen.
a) [mm] (-1)^{n} \bruch{n+1}{n} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm]
Ich hab jetzt ein paar Zahlen eingesetzt und bin zu der Behauptung gekommen, dass inf(A)= -2 ist und sup(A)= 3/2
So jetzt muss ich das ja noch beweisen:
Beweis vom infimum
Zeige [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt x [mm] \ge [/mm] -2
[mm] (-1)^{n} \bruch{n}{n} \bruch{1}{n} \ge [/mm] -2
[mm] (-1)^{n} [/mm] ist entweder 1 oder -1 also [mm] \ge [/mm] -2 [mm] \bruch{n}{n} [/mm] ist gleich 1 also auch [mm] \ge [/mm] -2 und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist größer als Null also ebenso [mm] \ge [/mm] -2
Zeige [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \le inf(A)+\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Finde nun ein x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \le inf(A)+\varepsilon=-2+\varepsilon
[/mm]
x muss so sein, dass
[mm] x\in [/mm] A -> [mm] x=(-1)^{n} \bruch{n}{n} \bruch{1}{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm]
x [mm] \le -2+\varepsilon [/mm] -> [mm] (-1)^{n} \bruch{n}{n} \bruch{1}{n}\le -2+\varepsilon. [/mm] Wenn man jetzt n=1 wählt erhält man -2 [mm] \le [/mm] -2 [mm] +\varepsilon. [/mm]
Kann ich jetzt sagen, dass das auch das Minimum ist, da man, wenn man 1 für n einsetzt -2 erhält, also ist -2 enthalten in der Menge. Oder muss ich das auch irgendwie beweisen?
So jetzt mache ich das auch noch für das supremum:
Beh.: sup(A)= 3/2
Zeige [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt x [mm] \le [/mm] 3/2
Wähle n=2 somit erhält man 3/2 [mm] \le [/mm] 3/2
Kann ich das so machen, also für n einfach 2 einsetzen.Reicht das aus?
Zeige [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \ge sup(A)-\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Finde nun [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] (-1)^{n} \bruch{n}{n} \bruch{1}{n}\ge 3/2-\varepsilon. [/mm] Wähle hier auch n=2
damit erhält man 3/2 [mm] \ge 3/2-\varepsilon.
[/mm]
Hier würde ich sagen das 3/2 auch das Maximum ist, da man beim einsetzen von 2 3/2 erhält.
Reicht das so?
So kann bitte jemand drüber schauen und mir sagen ob das alles so stimmt und ob man die beweisen so machen kann.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Grundidee ist ja sehr schön, aber das Auseinanderziehen des Bruchse funktioniert so nicht.
[mm] \frac{n+1}{n}=\fra{n}{n}\red{+}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}
[/mm]
Also:
[mm] (-1)^{n}\cdot\frac{n+1}{n}=(-1)^{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke für die super schnelle Antwort. Ich habe das hier nur falsch eingetippt. Naja, also diese Aufgabe hat noch einen Teil b und da soll ich das selbe machen nur hier habe ich viel mehr Schwierigkeiten, also:
b) B= [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] , x [mm] \in \IR_{+} [/mm]
So ich glaube, dass sup(B)= 1 ist und dass das Infimum nicht existiert.
Zeige [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] B gilt z [mm] \le [/mm] 1
Setze x=1 damit erhält man
1/2 [mm] \le [/mm] 1
Zeige [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] B: z [mm] \le [/mm] sup(B)- [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben. Finde nun x mit [mm] \bruch{x}{x+1} \le 1-\varepsilon [/mm] Wenn ich jetzt für x 1 einsetze erhalte ich ja
[mm] 1/2\le 1-\varepsilon [/mm] und es ist ja nicht klar ob diese Ungleichung stimmt, da man ja nicht weiß wie groß das [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Wie müsste ich das hier dann machen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreibe um:
[mm] \frac{x}{x+1}=\frac{x}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}
[/mm]
Beachte nun, dass [mm] x\in\IR^{+}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Also ich versteh nicht wie mir das helfen soll, wenn ich jetzt doch für x wieder 1 einsetze, also in deine umgeformte Version habe ich doch immernoch
[mm] 1/2\ge 1-\varepsilon [/mm] und epsilon könnte jetzt doch z.B. 0.002 sein, womit die Ungleichung nicht stimmt. Ich versteh nicht ganz den Hinweis dass x Element der pos. reellen Zahlen sein soll, also wie der mir helfen soll.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Nenner des Bruchs nimmt doch für [mm] x\in \IR^{+} [/mm] nur Werte aus [mm] (1;\infty) [/mm] an. Also kann der gesamte Bruch nun nur Werte zwischen [0;1) annehmen, also wäre das Minumum der Menge die 0 und das Supremum die 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
ok da habe ich mich mit dem Infimum geirrt,also ex. das Infimum doch.
Das das Supremum 1 ist, habe ich ja schon oben gesagt und genau das versuch ich doch zu beweisen, nur an der einen Stelle klappt es nicht. Ich kann doch nicht nur diesen Satz den du gerade aufgeschrieben hast aufschreiben, das reicht doch nicht. Wie muss ich den an der Stelle weiter machen, wo ich stehen geblieben bin.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das gar nicht über das Epsilon-Delta-Kriterium zeigen.
Zu Zeigen:
[mm] \frac{1}{1+\frac{1}{x}}<1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 1<1\cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 0<\frac{1}{x}
[/mm]
Und das ist fur [mm] x\in\Ir^{+} [/mm] eine wahre Aussage
Nun musst du noch Zeigen, dass 1 die kleinste obere Schranke ist, dazu kannst du zeigen, dass
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
also ich muss das mit Epsilon zeigen, da wir sonst keinen anderen Weg kennengelernt haben. Außerdem kann ich deinen Weg nicht nehmen, da wir noch kein Limes hatten.Kannst du ja nicht wissen. Daher weiß ich jetzt immer noch nicht weiter.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du mußt zeigen, dass es für jedes x ein solches Epsilon gibt. Das kann dann ruhig von x abhängig sein, aber es muss eben für jedes x ein solches Epsilon geben.
Für x=1 ergibt sich also [mm] \varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] für x=2 eben [mm] \varepsilon=\frac{2}{3} [/mm] für x=3 eben [mm] \varepsilon=\frac{3}{4}
[/mm]
Was bekämst du nun für ein beliebiges [mm] x_{b}?
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Also für ein beliebiges [mm] x_{b} [/mm] erhält man [mm] \varepsilon=\bruch{b}{b+1}
[/mm]
Wie hilft mir das denn jetzt weiter?
Ich will doch zeigen [mm] \bruch{1}{2} \ge 1-\varepsilon
[/mm]
Also ich versteh nicht worauf du hiermit hinaus willst.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da steht zwar [mm] \epsison [/mm] beliebig, aber du kannst es einschränken, da x/x+1)
ja nur Werte zwischen dem inf =0 und dem sup=1 annehmen kann, ist es sinnlos von [mm] \epsilon\ge1 [/mm] zu reden, also [mm] \epsilon [/mm] beliebig >0.5 reicht.
aber du sollst nicht zu einem x ein [mm] \epsilon [/mm] angeben, sondern zu einem [mm] \epsilon [/mm] ein x:
also gesucht ein x aus [mm] \IR^+ [/mm] mit [mm] x/(x+1)>1-\epsilon [/mm] oder
umgeformt [mm] \epsilon [/mm] >1-x/(x+1)
[mm] \epsilon>1/(x-1) [/mm] wenn x>1
[mm] 1/\epsilon\1/\epsilon+1 [/mm] liegen zwischen dem sup und [mm] sup-\epsilon.
[/mm]
Beispiel [mm] \epsilon=0.01 [/mm] x>101
etwa 102/101=0,99019...>1-0.01=0.99
Gruss leduart
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