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Hi Leuts
Wir solln da was zeigen was eigentlich völlig "trivial" is aber ich weiß nich so recht wie ich ran gehen soll. Folgendes :
[mm] x_{n} [/mm] , [mm] y_{n} [/mm] seien reelle zahlenfolgen mit n [mm] \in \IN
[/mm]
zu zeigen ist:
sup [mm] \{ x_{n} + y_{n} \} \le [/mm] sup [mm] \{ x_{n} \} [/mm] + sup [mm] \{ y_{n} \}
[/mm]
kann mir dan jemand helfen ?
danke
ich habe diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zw33n |
Die Antwort zur Aufgabe: sup(A+B)=sup(a)+sup(B)
steht auf www.uni-protokolle.de im Mathe-Forum unter Supremum genau diese Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt.
Dann gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$, [/mm] folgendes gilt:
[mm] $x_n [/mm] < [mm] \sup\limits_{n \in \IN} x_n [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Weiterhin gibt es ein [mm] $n_1 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_1$. [/mm] gilt:
[mm] $y_n [/mm] < [mm] \sup\limits_{n \in \IN} y_n [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Dann gilt für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge \max\{n_0,n_1\}$:
[/mm]
[mm] $x_n [/mm] + [mm] y_n [/mm] < [mm] \sup\limits_{n \in \IN} x_n [/mm] + [mm] \sup\limits_{n \in \IN} y_n [/mm] + [mm] \varepsilon$,
[/mm]
also auch:
[mm] $\sup\limits_{x_n + y_n} \le \sup\limits_{n \in \IN} x_n [/mm] + [mm] \sup\limits_{n \in \IN} y_n [/mm] + [mm] \varepsilon$.
[/mm]
(Diesen Schritt solltest du dir noch einmal durch den Kopf gehen lassen und vielleicht exakt beweisen, am besten mit einem Widerspruchsbeweis.)
Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.
(Auch hier könntest du wieder einen exakten Beweis (mit Widerspruch) führen.)
Liebe Grüße
Julius
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