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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 20.05.2004 | | Autor: | birte |
Danke erstmal für die vorigen tipps ( Vollständigkeitsaxiom)...klingt so einfach, wäre ich aber nie drauf gekommen.
so ähnlich wirds wohl mit der nächsten frage sein
Sind die folgenden Mengen reeller Zahlen nach oben beschränkt? Falls ja, bestimme das Supremum.
a) [mm] \{ \bruch {n} {n+1} : n\in\IN \} [/mm]
b) [mm] \{\bruch {2^n} {n} : n\in\IN \} [/mm]
c) [mm] \{ \summe_{k=0}^{n} \left(\bruch {1} {2}\right) ^k : n\in\IN \} [/mm]
vielleicht kan mir jemand nur mal zeigen, wie ich da ran gehen soll, bei a) kann ich das Supremum einfach hinschreiben, oder welche rechnung will man genau von mir sehen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 20.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Birte,
tja, was man da genau von dir sehen will, das kann ich dir leider nicht sagen. Ich weiß ja nicht, was ihr in der Vorlesung gemacht habt. Ich gebe dir mal die Lösungen. Du kannst ja dann mal schauen, wie du das mit den Sachen aus der Vorlesung begründest.
> a) [mm]\{ \bruch {n}{n+1} : n\in\IN \}[/mm]
Offenbar handelt es sich um eine monotone Folge (das könntest du eventuell zeigen!).
Wegen
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} [/mm] = 1$
gilt daher:
[mm] $\sup\left\{\frac{n}{n+1}\, : \, n \in \IN\right\} [/mm] = 1$.
> b) [mm]\{\bruch {2^n} {n} : n\in\IN \}[/mm]
Diese Folge ist nach oben unbeschränkt. (Das musst du irgendwie mit Abschätzungen aus der Vorlesung belegen!)
> c) [mm]\{ \sum\limits_{k=0}^{n} \left(\bruch {1} {2}\right) ^k : n\in\IN \}[/mm]
Dies ist als Reihe über positive Reihenglieder auch als monoton wachsende Folge interpretierbar.
Wegen
[mm]\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n \left(\bruch {1}{2}\right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\bruch {1}{2}\right)^k = 2[/mm] gilt:
[mm] $\sup\left\{\summe\limits_{k=0}^{n} \left(\bruch {1} {2}\right) ^k\, :\, n\in\IN \right\} [/mm] = 2$.
Versuche jetzt mal die (Beweis-)Lücken zu füllen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 20.05.2004 | | Autor: | birte |
Ich mag wohl selbst ziemlich beschränkt zu sein, aber kann mir jemand nochmal erklären, wieso [mm] \limes_{n \to \infty } \summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1} {2}\right)^k = 2 [/mm] ist?
bite helft mir nochmals auf die Sprünge
Danke, birte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Do 20.05.2004 | | Autor: | ankiza |
Du hast doch sicher das Skript! Da steht es ganz genau, Satz 4.7, Korollar 3.7 und Satz 1.14. Viel Erfolg noch, Gruß, Ankiza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 20.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo birte
das kannst du dir veranschaulichen (Kennst du übrigens Achilles mit der Schildkröte?).
Es ist kein Beweis, aber etwas, wonach man es sich merken kann!
Mach mal die folgende Skizze: eine horizontale Gerade (Zahlengerade), ganz links darauf markierst du den Nullpunkt, etwa 6 cm weiter rechts den Punkt $1$, und weitere 6 cm weiter rechts den Punkt $2$
Und jetzt zeichne bitte die ersten Paar Partialsummen deiner Reihe ein:
$k=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1$
$k=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1.5$
$k=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1.75$
$k=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1.875$
$k=4 [mm] \Rightarrow [/mm] 1.9375$
Jetzt kannst du schön beobachten, dass der nächste Punkt immer genau in der Mitte zwischen dem letzten Punkt und $2$ zu liegen kommt. $2$ kann also offensichtlich nicht überschritten werden, andererseits kommst du aber sicher beliebig nahe an die $2$ heran! 
Liebe Grüsse
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