Supremum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | | Bestimme die Zahl [mm] sup{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}} [/mm] |
Hier komme ich nicht weiter! Supremum ist die obere Schranke, das heißt ich lasse n beliebig groß werden. wenn dass passiert, dann nähert sich das ganze auf der rechten Seite immer mehr der 5 an. also [mm] x^2>5 [/mm] Aber x soll kleiner 0 sein. Wie kann das gehen?
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo heinze,
> Bestimme die Zahl [mm]sup{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{5}}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter! Supremum ist die obere
> Schranke, das heißt ich lasse n beliebig groß werden.
> wenn dass passiert, dann nähert sich das ganze auf der
> rechten Seite immer mehr der 5 an. also [mm]x^2>5[/mm] Aber x soll
> kleiner 0 sein. Wie kann das gehen?
>
Die Aufgabe ergibt so keinen Sinn, da muss ja irgendwo noch n ins Spiel kommen. Außerdem: EinSupremum ist nicht irgendeine obere Schranke, sondern die kleinste obere Scharnke (nur der Vollständigkeit halber  ).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
sorry, Tippfehler, es muss natürlich heißen: [mm] sup{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}}
[/mm]
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo heinze,
> sorry, Tippfehler, es muss natürlich heißen: $ [mm] sup{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}} [/mm] $
Ok. Das hättest du besser in deiner Frage oben ausgebessert. Macht aber jetzt nichts: ich habe es dir oben korrigiert.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> Bestimme die Zahl [mm]sup{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}}[/mm]
Vorweg: Wenn du geschweifte Klammern machen möchtest, muss du vor diese ein \ schreiben.
Und noch schöner sieht das ganze mit einem \left vor der linken und einem \right vor der rechten geschweiften Klammer aus, sowie einem \ vor dem sup:
[mm]\sup\left\{x\in \IR | x<0 \text{ und }\exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}\right\}[/mm]
> Hier komme ich nicht weiter! Supremum ist die obere Schranke, das heißt ich lasse n beliebig groß werden.
Warum? Das Supremum hat erstmal nur recht wenig mit dem n zu tun:
> wenn dass passiert, dann nähert sich das ganze auf der rechten Seite immer mehr der 5 an. also [mm]x^2>5[/mm]
Aha, halten wir also erstmal die Mengengleichheit fest:
[mm] $\left\{x\in \IR | x<0 \text{ und }\exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}\right\} [/mm] = [mm] \left\{x\in \IR | x<0 \text{ und }x^2>5 \right\}$
[/mm]
> Aber x soll kleiner 0 sein. Wie kann das gehen?
Warum sollte das ein Widerspruch sein? Was ist denn das Quadrat einer negativen Zahl?
Vielleicht solltest du dir erstmal überlegen, wie du die Menge als halboffenes Intervall schreiben kannst, dann ist auch sofort klar, was das Supremum davon ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Sorry, das mit dem Quadrat und den negativen Zahlen habe ich nicht beachtet. x<0 und [mm] x>-\wurzel{5} [/mm] kommen hier in Frage. Richtig? Ich weiß nun nicht auf was sich das Supremum bezieht. Nur auf n?
Ich verstehe das nicht, weil ich eine Zahl angeben soll und kein mögliches Intervall.
LG
heinze
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Hiho,
> Sorry, das mit dem Quadrat und den negativen Zahlen habe ich nicht beachtet. x<0 und [mm]x>-\wurzel{5}[/mm] kommen hier in Frage. Richtig?
Nein. Da hast du mit dem Relationszeichen nicht aufgepasst.
Schau dir das nochmal an.
Beispielsweise wäre ja -1 in deiner Menge, aber [mm] $(-1)^2 [/mm] = 1 < 5$.
Also nochmal draufschauen.
> Ich weiß nun nicht auf was sich das Supremum bezieht. Nur auf n?
Nein, auf die Menge, die du gerade bestimmst. Das machen wir aber später. Schritt für Schritt.
ERSTMAL klar werden, wie die Menge aussieht, von der du das Supremum bestimmen sollst, DANN das Supremum bestimmen.
Kleine Schritte, wenn mans nicht gleich hinbekommt.
> Ich verstehe das nicht, weil ich eine Zahl angeben soll und kein mögliches Intervall.
Das Supremum eines nach oben beschränkten Intervalls ist doch eine feste Zahl!
Aber wie gesagt, dazu später mehr.
MFG,
Gono.
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Die Menge muss dann kleiner sein als [mm] -\wurzel{5} [/mm] und eigentlich alle kleineren negativen Zahlen z.B. -3, -4,-3,5.. da diese quadriert alle größer sind als 5.
Danke für die Geduld das zu erklären!
LG
heinze
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Hiho,
> Die Menge muss dann kleiner sein als [mm]-\wurzel{5}[/mm]
Achte auf deine Sprechweise!
Wie kann eine Menge kleiner sein als eine Zahl? Das macht keinen Sinn.
Was du meinst ist: Die Menge enthält alle Zahlen, die kleiner sind als [mm] $-\wurzel{5}$.
[/mm]
Das ist korrekt.
Nun schreib das doch mal als Intervall und versuche dann das Supremum dieses Intervalls abzulesen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Das ist ja das Problem, das Intervall auszudrücken!
[mm] (-\wurzel{5},-\infty)
[/mm]
aber es muss ja kleiner als [mm] -\wurzel{5} [/mm] sein. Ich weiß wie es gemeint ist, kanns aber nicht ausdrücken/formulieren :(
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 22.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Das ist ja das Problem, das Intervall auszudrücken!
> [mm](-\wurzel{5},-\infty)[/mm]
Das macht so keinen Sinn, da [mm] -\infty<-\sqrt{5}
[/mm]
Es gilt doch:
I=(a;b) ist das Intervall zwischen a und b, wobei a und b jeweils nicht enthalten sind.
>
> aber es muss ja kleiner als [mm]-\wurzel{5}[/mm] sein. Ich weiß wie
> es gemeint ist, kanns aber nicht ausdrücken/formulieren
> :(
Überlege nochmal sauber, was die folgenden Intervalle bedeuten:
[mm] I_{2}=(a;b]
[/mm]
[mm] I_{3}=[a;b)
[/mm]
[mm] I_{4}=[a;b]
[/mm]
Bestimme dann jeweils mal das Supremum und Infimum der Intervalle, und, wenn vorhanden, das Maximum/Minimum.
>
> LG
> heinze
Marius
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> > Das ist ja das Problem, das Intervall auszudrücken!
> > [mm](-\wurzel{5},-\infty)[/mm]
>
> Das macht so keinen Sinn, da [mm]-\infty<-\sqrt{5}[/mm]
das macht schon Sinn, ist aber schlicht und ergreifend nicht das, was er
sucht:
[mm] $(-\sqrt{5},\,-\,\infty)=\varnothing,$
[/mm]
denn:
[mm] $\{x \in \IR: x > -\sqrt{5} \;\;\;\wedge\;\;\; x < -\infty\}=\varnothing\,.$
[/mm]
So ist etwa auch
[mm] $(7,3)=\varnothing\,,$
[/mm]
denn es ist
[mm] $(7,3)=\{x \in \IR:\;\; x > 7 \;\;\;\wedge\;\;\; x < 3\}=\varnothing\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Mo 22.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marcel
> Hallo Marius,
>
> > > Das ist ja das Problem, das Intervall auszudrücken!
> > > [mm](-\wurzel{5},-\infty)[/mm]
> >
> > Das macht so keinen Sinn, da [mm]-\infty<-\sqrt{5}[/mm]
>
> das macht schon Sinn, ist aber schlicht und ergreifend
> nicht das, was er
> sucht:
>
> [mm](-\sqrt{5},\,-\,\infty)=\varnothing,[/mm]
>
> denn:
>
> [mm]\{x \in \IR: x > -\sqrt{5} \;\;\;\wedge\;\;\; x < -\infty\}=\varnothing\,.[/mm]
>
Das kannte ich so noch nicht, es ist aber auch eine durchaus nachvollziehbare und logische Definition, wenn in einem Intervall die linke Grenze kleiner als die rechte ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
um die Verwirrung komplett zu machen: Ich kenns bisher nur so.
Für $a,b [mm] \in \overline{\IR}$ [/mm] meint (a,b) das Intervall [mm] $(\min\{a,b\},\max\{a,b\})$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> um die Verwirrung komplett zu machen: Ich kenns bisher nur
> so.
>
> Für [mm]a,b \in \overline{\IR}[/mm] meint (a,b) das Intervall
> [mm](\min\{a,b\},\max\{a,b\})[/mm].
das ist eine zu spezielle Definition, und diese würde eben für Verwirrungen
bei etwa
$[7,3)$
sorgen. Wenn man in den Heuser guckt, so sieht man, dass er Deine obige
Definition an einer Stelle (ich weiß nicht mehr genau, welche) so benutzt,
aber dafür eine spezielle Schreibweise definiert.
Ich kenne es auch so, wie Marius es schreibt:
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung und Definition 3.22 2.
Allerdings schon die erste Kritik zum Skript: Was ist da mit dem Intervall [mm] $[a,a]=\{a\}$?
[/mm]
Ich weiß nicht, wo ich das gesehen hatte, aber in irgendeinem Buch wurde
halt mal geschrieben, dass man das meist so (wie oben) definiert, aber die Einschränkung
$a [mm] \le [/mm] b$
(die sollte dort vielleicht anstatt $a < [mm] b\,$ [/mm] stehen ) vollkommen überflüssig
sei, wenn man für $a,b [mm] \in \overline{\IR}=\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] setzt
[mm] $(a,b):=\{x \in \IR: a < x \text{ und }x < b\}\,,$
[/mm]
[mm] $[a,b):=\{x \in \IR: a \le x \text{ und }x < b\}\,$
[/mm]
etc. pp..
(Natürlich definiert man [mm] $\infty [/mm] > r$ für alle $r [mm] \in \IR \cup \{-\infty\}$ [/mm] etc. pp.!)
Denn im Falle $a > [mm] b\,$ [/mm] wären alle auftauchenden Intervalle dann per
Definitionem einfach leer.
(Ergänzung allerdings: Hier sollte man auch Notationen wie [mm] $[-\infty,3)$ [/mm] vermeiden,
d.h., die Intervallgrenzen [mm] $\pm \infty$ [/mm] sollten am Besten immer an runden Klammern
angrenzen. Denn "in verwirrender Weise" gilt oben [mm] $[\infty,\infty]=\varnothing$
[/mm]
sowie [mm] $[-\infty,3)=(-\infty,3)\,.$ [/mm] Es kann also sein, dass der Autor auch darauf
hingewiesen hatte, dass sowas wie [mm] $[-\infty,r)$ [/mm] für $r [mm] \in \IR \cup \{\infty\}$ [/mm] bei ihm
undefiniert bleibe. Ich müßte aber erstmal wieder rausfinden, wo ich das
überhaupt gefunden habe!)
Ich verwende daher lieber das, und bis dato sehe ich dabei auch keine
Probleme!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Ich weiß es leider nicht. Alles was ich versuche wäre nur raten! Und das bringt recht wenig.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mo 22.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ich weiß es leider nicht. Alles was ich versuche wäre nur
> raten! Und das bringt recht wenig.
>
>
> LG
> heinze
Das sind aber Grundlagennotationen:
Tipp:
[mm] $x\in(a;b]=\{x|a
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Das ich das Intervall falsch geschrieben habe weiß ich ja, war Schusseligkeit. es muss [mm] (-\Infty, -\wurzel{5}) [/mm] heißen. Aber [mm] -\wurzel{5} [/mm] ist doch nicht das Supremum!
LG
heinze
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> Das ich das Intervall falsch geschrieben habe weiß ich ja,
> war Schusseligkeit. es muss [mm](-\infty, -\wurzel{5})[/mm] heißen.
> Aber [mm]-\wurzel{5}[/mm] ist doch nicht das Supremum!
Hallo,
warum nicht?
Ist [mm] -\wurzel{5} [/mm] eine obere Schranke?
Gibt es eine kleinere obere Schranken?
LG Angela
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 22.07.2013 | | Autor: | heinze |
Dann müsste aber nach [mm] x^2 [/mm] größer gleich und nicht nur größer stehen, oder?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 22.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Dann müsste aber nach [mm]x^2[/mm] größer gleich und nicht nur
> größer stehen, oder?
>
>
> LG
> heinze
Kannst du deine Frage etwas präziser stellen als mit "Da".
Wir hatten doch schon, dass die Menge
[mm] \left{x\in \IR | x<0 und \exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}\right}
[/mm]
das Intervall
[mm] I=(-\infty;-\sqrt{5})
[/mm]
beschreibt.
Suche also von diesem Intervall das Supremum.
Überlege auch mal, ob dieses Supremum auch ein Maximum ist.
Mach dir die Begriffe und den Unterschied zwischen Infimum/Minimum bzw zwischen Supremum/Maximum klar.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann müsste aber nach [mm]x^2[/mm] größer gleich und nicht nur
> größer stehen, oder?
beweise mal
[mm] $\{x \in \IR: \exists n \in \IN \text{ mit }x^2 > 5+1/n\}=\{x \in \IR: \exists n \in \IN \text{ mit }x^2 \ge 5+1/n\}\,.$
[/mm]
Hierbei ist [mm] "$\subseteq$" [/mm] klar, Du musst also noch [mm] "$\supseteq$" [/mm] beweisen!
(Hinweis: [mm] $\tfrac{1}{n+1} [/mm] < [mm] \tfrac{1}{n}\,.$)
[/mm]
P.S. Die Aufgabe stelle ich nur, damit Du siehst, dass es eigentlich
vollkommen irrelevant ist, ob da [mm] $x^2 [/mm] > 5+1/n$ oder [mm] $x^2 \ge [/mm] 5+1/n$ steht.
Und lies' bitte nochmal Angelas Antwort!
P.P.S. Für $M [mm] \subseteq \IR\,,$ $M\,$ [/mm] nach oben beschränkt, kann man leicht zeigen:
Es ist [mm] $S=\sup [/mm] M$ genau dann, wenn die folgenden zwei Bedingungen gelten:
1. $S [mm] \ge [/mm] m$ für alle $m [mm] \in M\,.$
[/mm]
2. Es existiert eine Folge [mm] $(m_n)_n$ [/mm] in [mm] $\red{\;M\;}$ [/mm] mit [mm] $m_n \to [/mm] S.$
Sowas hilft natürlich nur, wenn ihr Folgen und die entsprechenden Begriffe
wie Konvergenz/Divergenz etc. schon behandelt habt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
> Die Menge muss dann kleiner sein als [mm]-\wurzel{5}[/mm] und
> eigentlich alle kleineren negativen Zahlen z.B. -3,
> -4,-3,5.. da diese quadriert alle größer sind als 5.
>
übersetzen wir das mal (neben der anderen sprachlichen Korrektur):
[mm] $\mathbf{(\*)}$ $\left\{x\in \IR | x<0 \text{ und }\exists n\in \IN: x^2>5+\bruch{1}{n}\right\}=\{x \in \IR:\;\; x \blue{\;<\;}-\;\sqrt{5}\}$
[/mm]
Die rechte Menge kannst Du, musst Du aber nicht als Intervall schreiben.
Gono meint, dass das hilfreich ist - ist es auch, wenn man schonmal
"Intervalle untersucht hat" und sich da etwas (bzgl. der Begriffe Maximum,
Supremum, Minimum, Infimum) klargemacht hat.
Ergänzend: Die Mengengleichheit in [mm] $(\*)$ [/mm] ist zu beweisen!
Gruß,
Marcel
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