Supremum Infimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 24.03.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Teilmengen der reellen Zahlen:
A:= {x+ [mm] \bruch{1}{x}| \bruch{1}{2}
B:= {x [mm] \in [/mm] R: Es gibt ein y [mm] \in [/mm] R mit [mm] (x+2)^{2} +4y^{2} [/mm] <9}
Berechnen Sie das Infimum und das Supremum der Mengen A und B. Entscheiden Sie weiter, welche der Mengen A und B ein Maximum oder Minimum besitzen und berechnen Sie diese gegebenenfalls. |
Hallöle,
ich habe leider noch nie so eine Aufgabe gelöst und Musterlösungen gibts bei uns leider nicht. Da aber so eine Aufgabe in der Klausur drankommen könnte. Würde ich gerne wissen, wie man da konkret ran geht. Also auch mit anderen Werten und dann noch sauber aufgeschrieben.
Nehmen wir erstmal die Menge A. Ich habe mir den Graphen mal aufgemalt. Und gesehen, dass 1 das infimum ist und 2 das supremum. Aber das ist ja eigentlich nicht berechnet. (Ableitungen kennen wir im Übrigen noch nicht). Wenn ich jetzt aber mal eine komplexere Funktion habe, wüsste ich nicht wie ich das "sehen" kann. In einem Buch habe ich noch gelesen, dass man einen Widerspruchsbeweis führen muss. Also behaupten, dass 1 z.B. das Infimum ist und dann davon ausgehen, dass es ein d [mm] \in [/mm] R gibt, so dass 1+d [mm] \le [/mm] x+ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] . Aber jetzt komm ich spätestens nicht mehr weiter, außer den oben schon beschriebenen Problemen.
Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Do 24.03.2011 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Betrachten Sie folgende Teilmengen der reellen Zahlen:
> A:= {x+ [mm]\bruch{1}{x}| \bruch{1}{2}Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> B:= {x [mm]\in[/mm] R: Es gibt ein y [mm]\in[/mm] R mit [mm](x+2)^{2} +4y^{2}<9}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Infimum und das Supremum der Mengen A
> und B. Entscheiden Sie weiter, welche der Mengen A und B
> ein Maximum oder Minimum besitzen und berechnen Sie diese
> gegebenenfalls.
>
> Hallöle,
>
> ich habe leider noch nie so eine Aufgabe gelöst und
> Musterlösungen gibts bei uns leider nicht. Da aber so eine
> Aufgabe in der Klausur drankommen könnte. Würde ich gerne
> wissen, wie man da konkret ran geht. Also auch mit anderen
> Werten und dann noch sauber aufgeschrieben.
> Nehmen wir erstmal die Menge A. Ich habe mir den Graphen
> mal aufgemalt. Und gesehen, dass 1 das infimum ist und 2
> das supremum. Aber das ist ja eigentlich nicht berechnet.
So wie du das aufgeschrieben hast, ist nicht die Menge der x, sondern die Menge der Terme x+(1/x) zu betrachten.
Da ist der kleinste Wert 2 und der größte Wert 2,5.
Dass für positive reelle Zahlen x stetst [mm] x+(1/x)\ge [/mm] 2 gilt, ist übrigens eine bekannte Standardungleichung (folgt aus
[mm] (x-1)^2\ge [/mm] 0 --> [mm] x^2-2x+1\ge [/mm] 0 --> [mm] x^2+x\ge [/mm] 2x --> jetzt beide Seiten durch x teilen)
Gruß Abakus
> (Ableitungen kennen wir im Übrigen noch nicht). Wenn ich
> jetzt aber mal eine komplexere Funktion habe, wüsste ich
> nicht wie ich das "sehen" kann. In einem Buch habe ich noch
> gelesen, dass man einen Widerspruchsbeweis führen muss.
> Also behaupten, dass 1 z.B. das Infimum ist und dann davon
> ausgehen, dass es ein d [mm]\in[/mm] R gibt, so dass 1+d [mm]\le[/mm] x+
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] . Aber jetzt komm ich spätestens nicht mehr
> weiter, außer den oben schon beschriebenen Problemen.
>
> Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Viele Grüße
> Kerstin
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Do 24.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke für deine Antwort!
Aber gibts da nicht so ein Standardverfahren wie man Infima und Suprema rausbekommt?
Also so eine Art Kochrezept für Folgen, die anders aussehen?
LG
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 26.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich versteh auch nicht so ganz wie aus $ [mm] x^2-2x+1\ge [/mm] 0 $ --> $ [mm] x^2+x\ge [/mm] $ 2x folgt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:51 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Kueken,
das ist auch ein Tippfehler. Richtig heißt es
[mm]x^2-2x+1\ge 0[/mm] --> [mm]x^2+1\ge[/mm] 2x
Und daraus folgt - wie schon erwähnt - mit Division durch x
[mm]x+\frac{1}{x}\ge 2[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ah gut, dann hab ich das schonmal verstanden. Danke dir!
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