Supremum Partialsummenfolge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Bestimmen Sie, sofern möglich, [mm] $sup(\{ \sum_{k=0}^n x^k : n \in \mathbb{N} \})$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze nun schon seit einer halben Ewigkeit an dieser Aufgabe und bin kurz davor das Handtuch zu schmeißen. Konnte sie bisher in ein paar Fälle unterteilen, da x fest aber beliebig ist. Ich weiß, dass für $|x| < 1$ ein Supremum existiert, da müssteich einfach die geometrische Summenformel anwenden. Und für $x = 1$ existiert keines da sich die Menge dann auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] reduziert. Für $x = -1$ existiert das Supremum 1, da die Partialsummen zwischen -1 und 1 oszillieren. Für $x = 0$ existiert es auch, da sich die Menge dann auf [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] reduziert. Für $x > 1$ kann es nicht existieren, da die Partialsummenglieder über alle Grenzen wachsen. Und schließlich kann es für $x < -1$ auch nicht existieren, da [mm] $x^{n+1}>x^n$ [/mm] und die Partialsummenfole insgesamt über alle Grenzen wächst.
Ich bin gerade dabei es so aufzuschreiben, aber das geht doch 100% auch um einiges eleganter und nervenschonender..
Ich hoffe einer von euch kann mir auf die Sprünge helfen, denn mit dem momentanen Ergebniss bin ich alles andere als glücklich :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipp: für x [mm] \ne [/mm] 1 ist
[mm] \sum_{k=0}^n x^k [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
FRED
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Hilfe und den Tipp.
Ich möchte nicht dämlich klingen, bin schon seit ner weile wach.. also verzeih bitte, aber würde das nicht bedeuten dass die Summe für x = 0 gerade 1 entspricht?.. Ich meine, ich kenne die geometrische Summenformel und kann sie auch herleiten, ich weiß dass sie auch für x = 0 den richtigen Grenzwert liefern muss, aber das hier erstaunt mich doch ein wenig.. das wäre ja [mm] $0^1 [/mm] + [mm] 0^2+ [/mm] ... + [mm] 0^n [/mm] = 1$ oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 20.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
die Summe beginnt mit $k=0$ und [mm] 0^0:=1 [/mm] (hier).
Gruß
DieAcht
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Achso, ich hab mir eingeprägt, dass [mm] $0^0$ [/mm] stets undefiniert sei.
Aber bevor ich jetzt anfange, habe ich es richtig verstanden, dass ich um die Fallunterscheidung nicht drumherum komme, aber jetzt etwas angenehmer arbeiten kann?
(grenzwert [mm] $x^{n+1}$ [/mm] bzw. $x$ betrachten?)
oder sehe ich den riesenvorteil einfach nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, ich hab mir eingeprägt, dass [mm]0^0[/mm] stets undefiniert
> sei.
nein, aber es wird durchaus manchmal [mm] $0^0:=1$ [/mm] und manchmal auch [mm] $0^0:=0$
[/mm]
gesetzt - ich kenne eigentlich fast nur Fälle, wo die erste Definition sinnvoll
ist.
> Aber bevor ich jetzt anfange, habe ich es richtig
> verstanden, dass ich um die Fallunterscheidung nicht
> drumherum komme, aber jetzt etwas angenehmer arbeiten
> kann?
Also
1. Du hattest eben auch fälschlicherweise
[mm] $0^1+...+0^n$
[/mm]
geschrieben: Das ist
[mm] $\sum_{\red{k=1}}^n 0^k\,.$
[/mm]
2. Aus dem Wissen
[mm] $\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und (sogar alle komplexen) $x [mm] \not=1$
[/mm]
kannst Du Dir auch leicht
[mm] $\sum_{k=N}^n x^k=\frac{x^{N}-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
herleiten (das hat jetzt nicht wirklich was mit Deiner Aufgabe zu tun) - wobei
hier $n,N [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $n [mm] \ge [/mm] N$ sei - und auch wieder $x [mm] \not=1\,.$
[/mm]
> (grenzwert [mm]x^{n+1}[/mm] bzw. [mm]x[/mm] betrachten?)
Na, guck' nochmal drauf:
Im Folgenden sei stets $n [mm] \in \IN_0.$
[/mm]
1. Was ist
[mm] $\sum_{k=0}^n x^k$
[/mm]
für [mm] $x=1\,$?
[/mm]
2. Fred erinnerte ja schon dran, dass wir für [mm] $x\not=1$ [/mm] haben
[mm] $\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
Die rechte Seite läßt sich (für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $x [mm] \not=1$) [/mm] schreiben als
[mm] $\frac{1}{1-x}+\frac{-x^{n+1}}{1-x}\,.$
[/mm]
Nun sei $x [mm] \not=1$ [/mm] fest. Der erste Summand bleibt "beständig":
[mm] $\frac{1}{1-x}$ [/mm] ist immer eine feste Zahl.
Auch der Nenner des zweiten Summanden ist "beständig":
[mm] $1-x\,$ [/mm] ist eine feste Zahl. (Das haben wir indirekt auch schon beim
ersten Summanden ausgenutzt.)
"Probleme" kann also nur das [mm] "$-x^{n+1}\,$" [/mm] machen:
Fall 2a):
Was passiert für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] mit [mm] $x^{n+1}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Fall 2b):
Was passiert für $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] mit [mm] $|x|^{n+1}$? [/mm] Beachte, dass Du bzgl. der Aufgabenstellung
aber am Besten nochmal unterteilst:
Fall [mm] 2b,$\alpha$) [/mm] Sei $x > [mm] 1\,.$
[/mm]
Fall 2b, [mm] $\beta$) [/mm] Sei $x < [mm] \,-\,1\,.$
[/mm]
Fall 3) (Ja, wir haben, für $x [mm] \in \IR\,$ [/mm] bisher noch nicht alle Fälle erfasst - wir
haben bisher nur $x [mm] \in \{1\} \cup [/mm] (-1,1) [mm] \cup (1,\infty) \cup (-\infty,-1)=\IR \setminus \{-1\}$ [/mm] betrachtet - was ist also
mit [mm] $x=\,-\,1$?)
[/mm]
Sei [mm] $x=\,-\,1$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Achso, ich hab mir eingeprägt, dass [mm]0^0[/mm] stets undefiniert
> > sei.
>
> nein, aber es wird durchaus manchmal [mm]0^0:=1[/mm] und manchmal
> auch [mm]0^0:=0[/mm]
> gesetzt - ich kenne eigentlich fast nur Fälle, wo die
> erste Definition sinnvoll
> ist.
>
> > Aber bevor ich jetzt anfange, habe ich es richtig
> > verstanden, dass ich um die Fallunterscheidung nicht
> > drumherum komme, aber jetzt etwas angenehmer arbeiten
> > kann?
>
> Also
>
> 1. Du hattest eben auch fälschlicherweise
>
> [mm]0^1+...+0^n[/mm]
>
> geschrieben: Das ist
>
> [mm]\sum_{\red{k=1}}^n 0^k\,.[/mm]
>
> 2. Aus dem Wissen
>
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] für alle [mm]n \in \IN_0[/mm]
> und (sogar alle komplexen) [mm]x \not=1[/mm]
>
> kannst Du Dir auch leicht
>
> [mm]\sum_{k=N}^n x^k=\frac{x^{N}-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
>
> herleiten (das hat jetzt nicht wirklich was mit Deiner
> Aufgabe zu tun) - wobei
> hier [mm]n,N \in \IN_0[/mm] und [mm]n \ge N[/mm] sei - und auch wieder [mm]x \not=1\,.[/mm]
>
> > (grenzwert [mm]x^{n+1}[/mm] bzw. [mm]x[/mm] betrachten?)
>
> Na, guck' nochmal drauf:
> Im Folgenden sei stets [mm]n \in \IN_0.[/mm]
>
> 1. Was ist
>
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm]
>
> für [mm]x=1\,[/mm]?
das sollte [mm] $\sum_{k=0}^n x^k [/mm] = n$ sein, also reduziert sich die Menge auf [mm] $\mathbb{N}$
[/mm]
Da N kein Supremum hat, existiert es hier auch nicht
>
> 2. Fred erinnerte ja schon dran, dass wir für [mm]x\not=1[/mm]
> haben
>
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
>
> Die rechte Seite läßt sich (für jedes [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]x \not=1[/mm])
> schreiben als
>
> [mm]\frac{1}{1-x}+\frac{-x^{n+1}}{1-x}\,.[/mm]
>
> Nun sei [mm]x \not=1[/mm] fest. Der erste Summand bleibt
> "beständig":
>
> [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] ist immer eine feste Zahl.
>
> Auch der Nenner des zweiten Summanden ist "beständig":
>
> [mm]1-x\,[/mm] ist eine feste Zahl. (Das haben wir indirekt auch
> schon beim
> ersten Summanden ausgenutzt.)
>
> "Probleme" kann also nur das "[mm]-x^{n+1}\,[/mm]" machen:
>
> Fall 2a):
> Was passiert für [mm]|x| < 1\,[/mm] mit [mm]x^{n+1}[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
Es strebt gegen 0, also kann ich das Supremum durch [mm] $\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-0}{1-x}$ [/mm] inabhängigkeit von x direkt angeben
> Fall 2b):
> Was passiert für [mm]|x| > 1\,[/mm] mit [mm]|x|^{n+1}[/mm]? Beachte, dass
> Du bzgl. der Aufgabenstellung
> aber am Besten nochmal unterteilst:
> Fall 2b,[mm]\alpha[/mm]) Sei [mm]x > 1\,.[/mm]
Hier wächst [mm] $x^{n+1}$ [/mm] über alle Grenzen, es kann also kein Supremum geben
>
> Fall 2b, [mm]\beta[/mm]) Sei [mm]x < \,-\,1\,.[/mm]
Hier kann ich einmal gerade und ungerade exponenten betrachten, in beiden fällen läuft der Wert über alle Grenzen, also wieder kein Supremum
>
> Fall 3) (Ja, wir haben, für [mm]x \in \IR\,[/mm] bisher noch nicht
> alle Fälle erfasst - wir
> haben bisher nur [mm]x \in \{1\} \cup (-1,1) \cup (1,\infty) \cup (-\infty,-1)=\IR \setminus \{-1\}[/mm]
> betrachtet - was ist also
> mit [mm]x=\,-\,1[/mm]?)
> Sei [mm]x=\,-\,1[/mm]...
Hier osziliert der Wert zwischen -1 und 1 für ungerade bzw. gerade exponenten
dem supremum ist dies aber egal, deshalb kann ich [mm] $x^{n+1} [/mm] = 1$ setzen und das supremum direkt in abhängigkeit von x angeben
>
> Gruß,
> Marcel
Für x = 0 ist das supremum 1, wie wir bereits festgestellt haben
Ist das soweit richtig? bzw. fertig?.. wir haben alle fälle abgearbeitet, soweit ich sehen kann.. $x = 1, x = -1, x [mm] \in [/mm] (-1; 1), x > 1, x < -1, x = 0$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich bin gerade nur sporadisch da, daher einfach nur mal schnell etwas, was
mir direkt auffällt:
> > Na, guck' nochmal drauf:
> > Im Folgenden sei stets [mm]n \in \IN_0.[/mm]
> >
> > 1. Was ist
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm]
> >
> > für [mm]x=1\,[/mm]?
>
> das sollte [mm]\sum_{k=0}^n x^k = n[/mm] sein,
Nicht ganz:
für $n=0$ steht da [mm] $\sum_{k=0}^0 1=1\,,$
[/mm]
für $n=1$ steht da [mm] $\sum_{k=0}^1 1=2\,,$
[/mm]
für $n=2$ steht da [mm] $\sum_{k=0}^2 1=3\,,$
[/mm]
usw. usf..
Das bekommst Du aber alleine korrigiert.
> also reduziert sich
> die Menge auf [mm]\mathbb{N}[/mm]
Sofern bei Euch $0 [mm] \in \IN$ [/mm] gilt musst Du natürlich
[mm] $\left\{\sum_{k=0}^n \underbrace{1^k}_{=1}:\;\; n \in \IN\right\}=\IN \setminus \{0\}$
[/mm]
schreiben.
> Da N kein Supremum hat, existiert es hier auch nicht
Das ist okay - jedenfalls weiß ich, wie Du das meinst. (Das Supremum ist [mm] $=\infty \underline{\notin \IR}$; [/mm]
vielleicht sagst Du besser, dass [mm] $\IN$ [/mm] (nach oben) unbeschränkt ist... Es ist
halt auch ein bisschen die Frage, ob für Euch Suprema immer Elemente von
[mm] $\IR$ [/mm] sein müssen, oder ob ihr etwa auch [mm] $\infty$ [/mm] zulasst... ich tippe darauf,
dass ihr [mm] $\infty$ [/mm] nicht "mitnehmt"!) 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
na gut, nehme ich mir doch gerade mal die Zeit.
> > Hallo,
> >
> > > Achso, ich hab mir eingeprägt, dass [mm]0^0[/mm] stets undefiniert
> > > sei.
> >
> > nein, aber es wird durchaus manchmal [mm]0^0:=1[/mm] und manchmal
> > auch [mm]0^0:=0[/mm]
> > gesetzt - ich kenne eigentlich fast nur Fälle, wo die
> > erste Definition sinnvoll
> > ist.
> >
> > > Aber bevor ich jetzt anfange, habe ich es richtig
> > > verstanden, dass ich um die Fallunterscheidung nicht
> > > drumherum komme, aber jetzt etwas angenehmer arbeiten
> > > kann?
> >
> > Also
> >
> > 1. Du hattest eben auch fälschlicherweise
> >
> > [mm]0^1+...+0^n[/mm]
> >
> > geschrieben: Das ist
> >
> > [mm]\sum_{\red{k=1}}^n 0^k\,.[/mm]
> >
> > 2. Aus dem Wissen
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] für alle [mm]n \in \IN_0[/mm]
> > und (sogar alle komplexen) [mm]x \not=1[/mm]
> >
> > kannst Du Dir auch leicht
> >
> > [mm]\sum_{k=N}^n x^k=\frac{x^{N}-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> >
> > herleiten (das hat jetzt nicht wirklich was mit Deiner
> > Aufgabe zu tun) - wobei
> > hier [mm]n,N \in \IN_0[/mm] und [mm]n \ge N[/mm] sei - und auch wieder [mm]x \not=1\,.[/mm]
>
> >
> > > (grenzwert [mm]x^{n+1}[/mm] bzw. [mm]x[/mm] betrachten?)
> >
> > Na, guck' nochmal drauf:
> > Im Folgenden sei stets [mm]n \in \IN_0.[/mm]
> >
> > 1. Was ist
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm]
> >
> > für [mm]x=1\,[/mm]?
>
> das sollte [mm]\sum_{k=0}^n x^k = n[/mm] sein, also reduziert sich
> die Menge auf [mm]\mathbb{N}[/mm]
> Da N kein Supremum hat, existiert es hier auch nicht
siehe Mitteilung - da gibt es Kleinigkeiten zu korrigieren, im Wesentlichen
ändert das aber nichts an der Argumentation.
> > 2. Fred erinnerte ja schon dran, dass wir für [mm]x\not=1[/mm]
> > haben
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> >
> > Die rechte Seite läßt sich (für jedes [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]x \not=1[/mm])
> > schreiben als
> >
> > [mm]\frac{1}{1-x}+\frac{-x^{n+1}}{1-x}\,.[/mm]
> >
> > Nun sei [mm]x \not=1[/mm] fest. Der erste Summand bleibt
> > "beständig":
> >
> > [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] ist immer eine feste Zahl.
> >
> > Auch der Nenner des zweiten Summanden ist "beständig":
> >
> > [mm]1-x\,[/mm] ist eine feste Zahl. (Das haben wir indirekt auch
> > schon beim
> > ersten Summanden ausgenutzt.)
> >
> > "Probleme" kann also nur das "[mm]-x^{n+1}\,[/mm]" machen:
> >
> > Fall 2a):
> > Was passiert für [mm]|x| < 1\,[/mm] mit [mm]x^{n+1}[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]?
>
> Es strebt gegen 0, also kann ich das Supremum durch
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-0}{1-x}[/mm] inabhängigkeit von x
> direkt angeben
Naja, ich hätte Dir da vielleicht auch noch eine Fallunterscheidung vorschlagen
sollen. Was man hier sagen kann, ist, dass [mm] $(|x|^n)_n$ [/mm] monoton gegen Null fällt. (Warum?)
Im Falle $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ kannst Du damit sehr schnell ergünden, was die Folge
[mm] $\left(\frac{1-x^n}{1-x}\right)_n$
[/mm]
dann für ein Monotonieverhalten aufweist. Durch Untersuchung dieser Folge
kannst Du dann "schnell" das Supremum der genannten Menge nennen.
(Mach Dir auch ruhig mal ein Beispiel mit einem konkreten [mm] $x\,,$ [/mm] etwa [mm] $x=3/4\,.$)
[/mm]
Für $-1 < x < [mm] 0\,$:
[/mm]
Unterscheide die Fälle, ob [mm] $n\,$ [/mm] gerade oder ungerade ist. Bedenke bitte, dass
das Supremum einer Menge durchaus auch ein Maximum sein kann. Und zur
besseren Erkennbarkeit bzw. damit Du selbst auch ein besseres Gefühl
für die Untersuchungsmethodik bekommst:
betrachte ruhig wieder erstmal ein spezielles [mm] $x\,,$ [/mm] etwa [mm] $x=-3/4\,.$
[/mm]
> > Fall 2b):
> > Was passiert für [mm]|x| > 1\,[/mm] mit [mm]|x|^{n+1}[/mm]? Beachte,
> dass
> > Du bzgl. der Aufgabenstellung
> > aber am Besten nochmal unterteilst:
> > Fall 2b,[mm]\alpha[/mm]) Sei [mm]x > 1\,.[/mm]
> Hier wächst [mm]x^{n+1}[/mm]
> über alle Grenzen, es kann also kein Supremum geben
Ja, das ist richtig, ich würde aber
[mm] $\left\{\frac{1}{1-x}\red{\;-\;}\frac{x^{n+1}}{1-x}:\;\; n \in \IN\right\}=\left\{\frac{x^{n+1}}{x-1}-\frac{1}{x-1}:\;\; n \in \IN\right\}$
[/mm]
oder etwas ähnliches noch schreiben, damit man vor allem sieht, dass der
erste Summand rechterhand wirklich gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt (wegen $x-1 > [mm] 0\,.$)
[/mm]
> >
> > Fall 2b, [mm]\beta[/mm]) Sei [mm]x < \,-\,1\,.[/mm]
> Hier kann ich einmal
> gerade und ungerade exponenten betrachten, in beiden
> fällen läuft der Wert über alle Grenzen, also wieder
> kein Supremum
Das Ergebnis stimmt, aber in der Argumentation gibt's noch 'nen Haken:
Bei
[mm] $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
ist der Nenner stets echt positiv. Wenn [mm] $n\,$ [/mm] ungerade ist, wird [mm] $n+1\,$ [/mm] gerade
und damit [mm] $x^{n+1}$ [/mm] echt positiv, d.h. [mm] $(1-x^{n+1})/(1-x) [/mm] < 1/(1-x)$ für alle natürlichen $n [mm] \ge 1\,,$ [/mm]
die ungerade sind.
Du musst also mit den geraden [mm] $n\,$ [/mm] argumentieren, so grob:
Sei $x < [mm] -1\,,$ [/mm] dann ist für gerades [mm] $n\,$ [/mm] sicher [mm] $x^{n+1} [/mm] < 0$ und es wächst
[mm] $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)_{\substack{n \in \IN\\n \text{ gerade}}}$
[/mm]
über alle Grenzen. Da jedes Folgenglied der letztgenannten Folge auch
in der zu untersuchenden Menge
[mm] $\left\{\sum_{k=0}^n x^k:\;\; n \in \IN\right\}=\left\{\frac{1-x^{n+1}}{1-x}:\;\; n \in \IN\right\}$
[/mm]
liegt, folgt...
> >
> > Fall 3) (Ja, wir haben, für [mm]x \in \IR\,[/mm] bisher noch nicht
> > alle Fälle erfasst - wir
> > haben bisher nur [mm]x \in \{1\} \cup (-1,1) \cup (1,\infty) \cup (-\infty,-1)=\IR \setminus \{-1\}[/mm]
> > betrachtet - was ist also
> > mit [mm]x=\,-\,1[/mm]?)
> > Sei [mm]x=\,-\,1[/mm]...
> Hier osziliert der Wert zwischen -1 und 1 für ungerade
> bzw. gerade exponenten
> dem supremum ist dies aber egal, deshalb kann ich [mm]x^{n+1} = 1[/mm]
> setzen und das supremum direkt in abhängigkeit von x
> angeben
1 ist unabhängig von [mm] $x\,.$ [/mm] Das kannst Du hier sehr einfach aufschreiben:
Für $x=-1$ gilt
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k=(-1)^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0\,,$
[/mm]
also ist
[mm] $\left\{\sum_{k=0}^n (-1)^k:\;\; n \in \IN_0\right\}=\{1,-1,1,-1,1,-1,...\}=\{-1,\;1\}$
[/mm]
Wir haben also eine endliche Menge (da zweielementig), diese haben stets
ein Maximum, welches gleichzeitig das Supremum ist, und auch ein Minimum,
welches gleichzeitig das Infimum ist. Daher ist offensichtlich das Maximum =1.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Für x = 0 ist das supremum 1, wie wir bereits festgestellt
> haben
Das Ergebnis erhältst Du auch, wenn Du den Fall $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ betrachtest.
> Ist das soweit richtig? bzw. fertig?.. wir haben alle
> fälle abgearbeitet, soweit ich sehen kann.. [mm]x = 1, x = -1, x \in (-1; 1), x > 1, x < -1, x = 0[/mm]
Das Ganze ist halt noch nicht vollständig:
Für $x > [mm] 1\,$ [/mm] hast Du gesagt, dass die Menge, die in der Aufgabe nach dem
"sup" steht, kein Supremum hat, da unbeschränkt. Das ist okay.
Für [mm] $x=1\,$ [/mm] haben wir das gleiche Ergebnis, das ist auch okay.
Für $0 [mm] \le [/mm] x < 1$ musst Du das Supremum der Menge noch nennen:
[mm] $\frac{1}{1-x}\,.$ [/mm] (Insbesondere sieht man hier, dass das Supremum
im Falle [mm] $x=0\,$ [/mm] gerade [mm] $1/(1-0)=1/1=1\,$ [/mm] ist!)
Für $-1 < x < [mm] 0\,$: [/mm] Hier ist das Supremum durchaus existent und ein Maximum.
Tipp: [mm] $n=0\,.$ [/mm] (Beachte: Hier gilt [mm] $1=\frac{1-x^1}{1-x} \ge \frac{1-x^{3}}{1-x} \ge \frac{1-x^5}{1-x} \ge [/mm] ...$)
Für [mm] $x=\,-\,1:$ [/mm] Dein Ergebnis, dass hier das Supremum 1 (und auch ein Maximum) ist,
ist korrekt.
Für $x < [mm] -1\,:$ [/mm] Richtiges Ergebnis, aber saubere und korrigierte
Begründung: S.o.!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
übrigens mal ein Tipp, der vielen nicht klar ist:
Man kann sich Folgen durchaus auch mithilfe von Funktionsplottern angucken.
Dafür definierst Du Dir einfach eine entsprechende Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR\,,$
[/mm]
und zwar so, dass [mm] $f_{|\IN}$ [/mm] gerade mit der Folge übereinstimmt. Um den
"Folgencharakter" noch besser deutlich zu machen, kann man durchaus auch
die Gaußklammer mit ins Spiel bringen:
Beispiel:
Nehmen wir an, Du willst Dir die Folge
[mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$
[/mm]
mit [mm] $a_n=(-2)^n$ [/mm] mal veranschaulichen. Dann wirst Du mit [mm] $f(x)=(-2)^x$ [/mm] durchaus
Probleme bekommen. Aber:
Setze
[mm] $f(x):=(-2)^{\lfloor x \rfloor}$ [/mm] (meist kann man einfach die
Gaußklammer von x mit floor(x) angeben)
Und Du wirst sehen:
[mm] $a_0$ [/mm] findest Du wieder, wenn Du $f(0)$ betrachtest (es gilt
übrigens [mm] $f(0)\equiv f_{|[0,1)}(x)$)
[/mm]
[mm] $a_1$ [/mm] findest Du wieder, wenn Du $f(1)$ betrachtest (es gilt
übrigens [mm] $f(1)\equiv f_{|[1,2)}(x)$)
[/mm]
.
.
.
[mm] $a_n$ [/mm] findest Du wieder, wenn Du $f(n)$ betrachtest (es gilt
übrigens [mm] $f(n)\equiv f_{|[n,\,n+1)}(x)$)
[/mm]
Und mal ein vielleicht interessanteres Beispiel:
Wenn die Frage ist, dass man untersuchen soll, ob
[mm] $(sin(n))_n$
[/mm]
eine konvergente Folge ist, und man gar keine Idee hat, will man sich ja
mal meist "erste Folgenglieder" angucken. Hier kannst Du Dir einfach mal
$x [mm] \mapsto \sin(\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor)$ [/mm] plotten lassen.
(Und meinetwegen auch $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] dazu!)
Da bekommt man wenigstens schonmal direkt den Eindruck (Du kannst ja
durchaus mal $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1000$ betrachten), dass die obige Folge zwar sicherlich
beschränkt, aber doch wohl eher divergent sein wird.
Gruß,
Marcel
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