Supremum bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren sie den Graph folgender Funktion:
f(x)=sup{x*a: [mm] a\in [/mm] (1,4)}
Anmerkung: x ist Element der Reelen Zahlen. |
Okay so weit so gut.
In der lösung wird folgendes gemacht.
Eine Fallunterscheidung für:
1) x>0 => f(x)=(x,4x)
2) x=0 => f(x)={0}
3) x<0 => f(x)=(4x,x)
Das ist ja auch durchaus sinvoll und verständlich.
Um den Graphen zu Zeichnen muss man nun das Supremum berechnen.
Wir gehen mal zum ersten Fall.
Zu 1) Für x>0 gilt:
[mm] y\in [/mm] f(x)=(x,4x) => [mm] y\le4x
[/mm]
Das verstehe ich auch noch. Ist ja bis jetz nix dabei.
Nun kommt es aber.
d.h. s=4x ist eine obere Schranke der Menge f(x). Insbesondere ist s die kleinste obere Schranke, denn gäbe es eine obere Schranke g<s, dann wäre:
[mm] \varepsilon:\bruch{s-g}{2}=2x-\bruch{1}{2}g>0
[/mm]
Anderer Seits gilt dann aber [mm] auch,g+\varepsilon=g+2x-\bruch{1}{2}g
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}g+2x<\bruch{1}{2}4x+2x=4x,
[/mm]
also [mm] g+\varepsilon\in [/mm] f(x) im Wiederspruch dazu, dass g eine Obere Schranke von f(x) ist.
Also gilt für x>0
sup (x,4x) = 4x
Die Rechnungen kann ich schon Nachvollziehen, aber wieso wählen die dort das Epsilon so ?
Kann man auch ein anderes Epsion wählen ?
Vielen dank schonmal.
mfg. Hellsing
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Skizzieren sie den Graph folgender Funktion:
>
> [mm] f(x)=sup$\{x*a: a\in (1,4)\}$
[/mm]
>
> Anmerkung: x ist Element der Reelen Zahlen.
reelle Zahlen!
> Okay so weit so gut.
> In der lösung wird folgendes gemacht.
>
> Eine Fallunterscheidung für:
> 1) x>0 => f(x)=(x,4x)
Das, was da steht, steht hoffentlich nicht so in der Musterlösung. Ansonsten kann man sie schon jetzt wegwerfen, denn dann weiß der "Ersteller" selbst nicht, was er da tut. Für $x > 0$ ist
[mm] $$f(x)=\text{sup}\underbrace{(1*x,4*x)}_{=]1*x,4*x[=\{r \in \IR: x < r < 4x\}}\,.$$
[/mm]
> 2) x=0 => f(x)={0}
> 3) x<0 => f(x)=(4x,x)
Siehe oben: Das ist doch Quark!
> Das ist ja auch durchaus sinvoll und verständlich.
Eigentlich ist es alles andere als das: Es ist schlichtweg FALSCH!
> Um den Graphen zu Zeichnen muss man nun das Supremum
> berechnen.
> Wir gehen mal zum ersten Fall.
>
> Zu 1) Für x>0 gilt:
> [mm]y\red{\in}[/mm] f(x)=(x,4x) => [mm]y\le4x[/mm]
Das macht keinen Sinn! Vielleicht steht da $y [mm] \in \{a*x: a \in (1,4)\}$? [/mm] (Letzteres ist nichts anderes als das offene Intervall [mm] $]x,4x[\,,$ [/mm] s.o.!)
> Das verstehe ich auch noch. Ist ja bis jetz nix dabei.
> Nun kommt es aber.
>
> d.h. s=4x ist eine obere Schranke der Menge f(x).
[mm] $f(x)\,$ [/mm] ist keine Menge, sondern eine (reelle) Zahl: Nämlich das Supremum über die (beschränkte) Menge [mm] $]x,4x[\,.$ [/mm] Und [mm] $s=s(x)=4x\,$ [/mm] ist eine obere Schranke für [mm] $\{a*x: a \in (1,4)\}=]x,4x[$!!!
[/mm]
> Insbesondere ist s die kleinste obere Schranke, denn gäbe
> es eine obere Schranke g<s, dann wäre:
> [mm]\varepsilon:\bruch{s-g}{2}=2x-\bruch{1}{2}g>0[/mm]
> Anderer Seits gilt dann aber
> [mm]auch,g+\varepsilon=g+2x-\bruch{1}{2}g[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}g+2x<\bruch{1}{2}4x+2x=4x,[/mm]
> also [mm]g+\varepsilon\red{\in} f(x)[/mm]
Das [mm] $\red{\in}$ [/mm] macht keinen Sinn! Was steht da wirklich?
> im Wiederspruch dazu, dass g
> eine Obere Schranke von f(x) ist.
>
> Also gilt für x>0
> sup (x,4x) = 4x
>
> Die Rechnungen kann ich schon Nachvollziehen, aber wieso
> wählen die dort das Epsilon so ?
Weil ein solches geeignet ist, um den gewünschten Widerspruch zu erzeugen (skizziere Dir mal, was die da eigentlich hinschreiben - ich würde Dir das an der Tafel sofort klarmachen können, über's Internet ist das natürlich ein wenig schwerer - daher: Versuch's erstmal selbst.)
> Kann man auch ein anderes Epsion wählen ?
Klar. Es sollte nur die folgenden Bedingunen erfüllen (für den Fall $x > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest):
[mm] $$(\star)\;\;\;g=g(x) [/mm] < s(x)- [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] s=s(x)=4x\,.$$
[/mm]
Wenn man zeigt, dass gilt:
Unter der Annahme, dass [mm] $g\,$ [/mm] eine obere Schranke ist mit $g < [mm] s\,$ [/mm] und dann ein solches [mm] $\varepsilon$ [/mm] wie oben in [mm] $(\star)$ [/mm] existiert, dann kann man damit einen Widerspruch erzeugen. Das gilt allgemein:
Sei nämlich $g < [mm] s\,$ [/mm] eine echt kleinere obere Schranke als [mm] $s\,.$ [/mm] Sei [mm] $\varepsilon$ [/mm] so, dass es die Eigenschaften aus [mm] $(\star)$ [/mm] erfülle. Wir betrachten [mm] $y=y(x)=\frac{g+\varepsilon}{4}\,.$ [/mm] Hier gilt schon
$$4*y [mm] \in \{a*x: x \in (1,4)\}\,,$$
[/mm]
denn wir haben [mm] $4*y=g+\varepsilon [/mm] < [mm] 4x=s=s(x)\,,$ [/mm] also ist [mm] $4*y=(\lambda*4)*x$ [/mm] mit einem $0 < [mm] \lambda [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Kurzes nachdenken zeigt [mm] ($g\,$ [/mm] sollte ja obere Schranke für [mm] $\{a*x: a \in (1,4)\}$ [/mm] sein, damit ist $g [mm] \ge [/mm] x$), dass wir in der Tat auch [mm] $\lambda [/mm] > 1/4$ haben. Damit erkennen wir [mm] $4*y=(\lambda*4)x$ [/mm] wegen [mm] $\lambda*4 \in (1,4)\,.$
[/mm]
Andererseits gilt wegen [mm] $s(x)-\varepsilon [/mm] < s(x)$ auch [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass
[mm] $$4*y=g+\varepsilon [/mm] > g$$
zeigt, dass [mm] $g\,$ [/mm] keine obere Schranke für [mm] $\{ax: a \in (1,4)\}$ [/mm] sein kann!
In etwa ein solcher Gedankengang sollte oben stehen oder aber hätte oben stehen sollen. Und dass es ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit $g < [mm] s-\varepsilon [/mm] < [mm] s\,$ [/mm] gibt, zeigt dann die explizite Definition [mm] $\varepsilon:=(s-g)/2\,,$ [/mm] welches $> 0$ ist unter der Annahme, dass $g < s=s(x)=4x$ eine kleiner obere Schranke für [mm] $\{a*x: a \in (1,4)\}$ [/mm] sei! Für dieses so explizite definierte [mm] $\varepsilon$ [/mm] kannst Du den Beweis nun ja mal richtig aufschreiben!
P.S.:
Falls Du an der Aussage mit dem [mm] $\lambda$ [/mm] hängst:
Wegen
[mm] $$4*y=\left(\frac{y}{x}*4\right)*x$$
[/mm]
kannst Du
[mm] $$\lambda:=y/x$$
[/mm]
setzen und entsprechende Eigenschaften nachweisen!
Grüße,
Marcel
|
|
|
|
