Supremum bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche diese Mengen auf beschränktheit nach oben und bestimme gegebenfalls das Supremum. Welche dieser Suprema sind Maxima?
1. M = [mm] \{1 - \bruch{1}{n^2} | n\in\IN , n \ge 1 \}
[/mm]
2. M = [mm] \{x\in\IR | \bruch{x^3}{(x+2)^2} > 1, x \not= -2 \}
[/mm]
3. M = [mm] \{\bruch{x}{|x+3|} | x\in\IR, x\not= 3\} [/mm] |
Ich weiß leider nicht wie man hier vorgeht, ich habe versucht
die Ausdrücke als Folgen zu betrachten und den Grenzwert zu bestimmen,
ich komme auf
1. Sup M = 1
2. Sup M = [mm] \infty
[/mm]
3. Sup M = 1
darf ich das so machen weil die Rechnung kommt mir verdächtig einfach vor.
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche diese Mengen auf beschränktheit nach oben und
> bestimme gegebenfalls das Supremum. Welche dieser Suprema
> sind Maxima?
> 1. M = [mm]\{1 - \bruch{1}{n^2} | n\in\IN , n \ge 1 \}[/mm]
> 2. M =
> [mm]\{x\in\IR | \bruch{x^3}{(x+2)^2} > 1, x \not= -2 \}[/mm]
> 3. M =
> [mm]\{\bruch{x}{|x+3|} | x\in\IR, x\not= 3\}[/mm]
> Ich weiß leider
> nicht wie man hier vorgeht, ich habe versucht
> die Ausdrücke als Folgen zu betrachten und den Grenzwert
> zu bestimmen,
> ich komme auf
> 1. Sup M = 1
> 2. Sup M = [mm]\infty[/mm]
> 3. Sup M = 1
>
> darf ich das so machen weil die Rechnung kommt mir
> verdächtig einfach vor.
Ich zeig Dir mal 1.
Klar dürfte sein, dass 1 eine obere Schranke von M ist, denn [mm] 1-1/n^2 \le [/mm] 1 für alle n.
Sei c eine obere Schranke von M. Dann ist [mm] 1-1/n^2 \le [/mm] c für alle n.
Wenn Du jetzt n [mm] \to \infty [/mm] gehen lässt, folgt: c [mm] \ge [/mm] 1.
Damit ist 1 die kleinste obere Schranke.
FRED
>
> Gruß helicopter
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OK also war meine Rechnung mit dem Grenzwert gar nicht so falsch.
Liegt die 1 denn in der Menge drin? Ich meine [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] geht zwar gegen 0, aber man kann kein n finden das mir [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] = 0 erfüllt, ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 12.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> OK also war meine Rechnung mit dem Grenzwert gar nicht so
> falsch.
> Liegt die 1 denn in der Menge drin? Ich meine
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] geht zwar gegen 0, aber man kann kein n
> finden das mir [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] = 0 erfüllt, ist das
> korrekt?
Ja.
Und weil Du für jedes noch so kleine [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $n$ finden kannst mit
[mm] $1-\epsilon [/mm] < [mm] 1-\bruch [/mm] 1 [mm] {n^2} [/mm] $, ist [mm] $1-\epsilon$ [/mm] keine obere Schranke, so daß sich 1 als die kleinste obere Schranke erweist. Aber 1 ist nicht Element der Menge.
Gruß,
Wolfgang
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