Supremum bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Do 01.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | | Zu Zeigen ist das die Vereinigung Sup(M [mm] \cup [/mm] N) = max{Sup(M), Sup(N)} ist. |
Hallo ich soll die obige Gleichheit zeigen. Und den ersten Teil der Aufgabe konnte ich auch lösen. Wenn man mit Schranken arbeitet, haben wir immer zwei Sachen gezeigt:
1. Das das Supremum existiert.
2. Das es keine kleinere / bzw. größere Schranke gibt, als die, die man gefunden hat.
Wie zeige ich denn zur obigen Gleichung, das es kein c^' < c gibt?
c = Supremum.
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sauri,
> Zu Zeigen ist das die Vereinigung Sup(M [mm]\cup[/mm] N) =
> max{Sup(M), Sup(N)} ist.
Bitte poste den kompletten Aufgabentext. Lautet er wie folgt?
| Aufgabe | | Seien [mm] $\emptyset\not=M,N\subseteq \IR$ [/mm] beschränkte Teilmengen. Man zeige, dass dann auch [mm] $M\cup [/mm] N$ beschränkt ist und Sup(M [mm]\cup[/mm] N) = max{Sup(M), Sup(N)} gilt. |
> Wenn man mit
> Schranken arbeitet, haben wir immer zwei Sachen gezeigt:
>
> 1. Das das Supremum existiert.
> 2. Das es keine kleinere / bzw. größere Schranke gibt,
> als die, die man gefunden hat.
So kannst du auch hier vorgehen. Zeige, dass [mm] $c:=\max(\sup(M),\sup(N))$ [/mm] eine (und somit die) kleinste obere Schranke von [mm] $M\cup [/mm] N$ ist.
Also ist zu zeigen:
1. c ist obere Schranke von [mm] $M\cup [/mm] N$
2. Es gibt keine obere Schranke [mm] $c'\in\IR$ [/mm] von [mm] $M\cup [/mm] N$ mit c'<c.
Bei 2. bietet sich ein Widerspruchsbeweis an.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 01.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | M und N sind nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \IR.
[/mm]
Zeigen Sie das Sup(M N) = max{Sup(M), Sup(N)} gilt. |
Wie zeigt man denn zu 1) Das c Supremum der Vereinigung ist? Bisher habe ich nur die Gleichheit gezeigt. Und das war ja relativ einfach.
Folgender Ansatz:
sei x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N), dann ist x [mm] \le [/mm] Sup(M) oder x ist [mm] \le [/mm] Sup(N). Folglich ist x auch [mm] \le [/mm] Sup(M [mm] \cup [/mm] N) und es existiert ein c aus (M [mm] \cup [/mm] N) mit x [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N).
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> M und N sind nach oben beschränkte Teilmengen von [mm]\IR.[/mm]
>
> Zeigen Sie das Sup(M N) = max{Sup(M), Sup(N)} gilt.
Also sind M und N nicht als nichtleer vorausgesetzt. Die Fälle eine der beiden Mengen leer bzw. beide Mengen leer müssten also gesondert behandelt werden. Beachte [mm] $\sup(\emptyset):=-\infty$.
[/mm]
> Wie zeigt man denn zu 1) Das c Supremum der Vereinigung
> ist?
1) besagt nur, dass [mm] $c:=\max(\sup(M),\sup(N))$ [/mm] obere Schranke von [mm] $M\cup [/mm] N$ ist. Dass c tatsächlich Supremum von [mm] $M\cup [/mm] N$ ist folgt erst aus 1) und 2) zusammen.
> Folgender Ansatz:
> sei x [mm]\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N), dann ist x [mm]\le[/mm] Sup(M) oder x ist [mm]\le[/mm] Sup(N).
(Warum?)
Falls [mm] $x\le\sup(M)$ [/mm] gilt [mm] $x\le\sup(M)\le [/mm] c$.
Falls [mm] $x\le\sup(N)$ [/mm] gilt [mm] $x\le\sup(N)\le [/mm] c$.
Also in beiden Fällen [mm] $x\le [/mm] c$.
Also ist c tatsächlich obere Schranke von [mm] $M\cup [/mm] N$.
> Folglich ist x auch [mm]\le[/mm] Sup(M [mm]\cup[/mm] N)
Das folgt direkt aus [mm] $x\in M\cup [/mm] N$.
> und es
> existiert ein c aus (M [mm]\cup[/mm] N) mit x [mm]\le[/mm] c für alle x [mm]\in[/mm]
> (M [mm]\cup[/mm] N).
Nenne dieses c lieber d, denn c ist ja schon vergeben... 
Diese Aussage ist falsch. Wenn z.B. [mm] $M\cup [/mm] N=(0,1)$ (Intervall von 0 bis 1 ohne die Randpunkte) gilt, gibt es kein [mm] $d\in M\cup [/mm] N$ mit [mm] $x\le [/mm] d$ für alle [mm] $x\in M\cup [/mm] N$.
Zu zeigen ist noch 2).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 01.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen Dank für die Hilfe! Läuft der Wiederspruchsbeweis darauf hinaus, das die beiden Surpema gleich sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Läuft der Wiederspruchsbeweis darauf hinaus, das die beiden Surpema
> gleich sind?
Welche beiden Suprema meinst du?
Nimm an, es gäbe eine obere Schranke [mm] $c'\in\IR$ [/mm] von [mm] $M\cup [/mm] N$ mit $c'<c$.
Beachte, dass wegen [mm] $c=\max(\sup(M),\sup(N))$ [/mm] gilt: [mm] $c=\sup [/mm] (M)$ oder [mm] $c=\sup [/mm] (N)$.
Nehmen wir etwa den Fall [mm] $c=\sup(M)$. [/mm] Zeige dann, dass c' eine kleinere obere Schranke von M als [mm] $\sup(M)$ [/mm] ist. Widerspruch zur Definition von [mm] $\sup(M)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Do 01.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hmm, wie zeige ich das den formal?
Sei c' eine kleinere obere Schranke von M als Sup(M), dann würde gelten, dass c' < c ist. (Ist das jetzt schon der Wiederspruch???) Weil die Menge ja nach oben beschränkt ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten $ [mm] c=\max(\sup(M),\sup(N)) [/mm] $ und konnten c=sup(M) annehmen.
Sei nun c' eine weitere obere Schranke von M [mm] \cup [/mm] N.
c' ist auch eine obere Schranke von M. Wegen c=sup(M) folgt: c [mm] \le [/mm] c'
FRED
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