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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] sei die Funktion [mm] f_n: [/mm] [0,25;0,75] [mm] \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n(x-n)} [/mm] für alle [mm] x\in[0,25 [/mm] ; 0,75].
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] auf [mm] x\in [/mm] [0,25;0,75] normal konvergent ist. |
Also wir haben die normale Konvergenz, so definiert: [mm] \forall n\in\IN \exists S_n [/mm] > 0 : [mm] |f_n(x)| \le S_n [/mm] und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sup\{|f_n(x)| : x\in[0,25;0,75]\} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Ich habe allerdings einige Probleme bei der Bestimmung des Supremums.
Mein Vorgehen:
[mm] |\bruch{1}{n(x-n)}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}*\bruch{1}{x-n}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} |\bruch{1}{x-n}| \le \bruch{1}{n}*4 [/mm]
denn: [mm] \bruch{1}{|x-n|} \le [/mm] 4 <=> 1 [mm] \le [/mm] 4|x-n| <=> [mm] \bruch{1}{4} \le [/mm] |x-n| für [mm] x\in[\bruch{1}{4},\bruch{3}{4}] [/mm] und für alle [mm] n\in\IN [/mm] (Man bekommt für [mm] x\in[\bruch{1}{4},\bruch{3}{4}] [/mm] und für alle [mm] n\in\IN [/mm] für |x-n| immer etwas größergleich 1/4 heraus)
Ist das so in Ordnung?
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Hiho,
Du hast bisher nur gezeigt, dass [mm] \bruch{4}{n} [/mm] eine obere Schranke ist, doch ist es auch das Supremum, d.h. die kleinste obere Schranke.
Wenn du das noch begründen würdest, wärst du fertig.
(Tipp: Sie ist es nicht, also schätz anders ab)
Ein anderer weg wäre, eine normale Kurvendiskussion zu machen und das Maximum von [mm] f_n [/mm] im gegebenen Intervall zu bestimmen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Okay, die Methode mit der Kurvendiskussion darf ich nicht benutzen, da wir Kurvendiskussion in der Vorlesung noch nicht hatten, aber ich habe mal anders abgeschätzt:
[mm] |\bruch{1}{nx-n^2}| \le \bruch{1}{|\bruch{3}{4}n-n^2|}, [/mm] also einfach [mm] \bruch{3}{4} [/mm] für x eingesetzt, weil dies ja der größtmögliche Wert für x ist
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Hiho,
> Okay, die Methode mit der Kurvendiskussion darf ich nicht
> benutzen, da wir Kurvendiskussion in der Vorlesung noch
> nicht hatten, aber ich habe mal anders abgeschätzt:
>
> [mm]|\bruch{1}{nx-n^2}| \le \bruch{1}{|\bruch{3}{4}n-n^2|},[/mm]
> also einfach [mm]\bruch{3}{4}[/mm] für x eingesetzt, weil dies ja
> der größtmögliche Wert für x ist
Die Idee ist gut.
Aber wenn du x größer machst, wird doch auch der Nenner größer und damit der Bruch kleiner. Oder etwa nicht?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Hi.
Naja von [mm] \bruch{3}{4}n [/mm] wird n² abgezogen und das alles mit Betragsstrichen. Der Bruch wird kleiner, wenn ich für x einen kleineren Wert einsetze. Mal für einige n:
Für n= 1 : [mm] \bruch{1}{|\bruch{3}{4}-1|} [/mm] = 4
Für n= 2 : [mm] \bruch{1}{|\bruch{3}{4}*2-4|} [/mm] = 2/5
Setze ich nun mal x = [mm] \bruch{1}{4}:
[/mm]
Für n = 1: [mm] \bruch{1}{|\bruch{1}{4}-1|} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Für n = 2: [mm] \bruch{1}{|\bruch{1}{2}-4|} [/mm] = [mm] \bruch{2}{7}
[/mm]
Kleinere Werte für x, machen den Bruch kleiner.
Der Abstand zwischen [mm] \bruch{1}{4}n [/mm] und [mm] n^2 [/mm] ist ja größer als der zwischen [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und [mm] n^2, [/mm] also wird der Nenner für kleine Werte von x größer und somit der Bruch insgesamt kleiner. Wählt man x größer, wird der Nenner demnach nicht so groß, der Bruch insgesamt also größer (Oder bin ich da auf dem Holzweg ? :D)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Für x [mm] \in [/mm] [0,25; 0,75] und n [mm] \in \IN [/mm] haben wir:
|x-n|=n-x
und
n-x [mm] \ge n-\bruch{3}{4}
[/mm]
damit ist
[mm] \bruch{1}{|x-n|} \le \bruch{1}{ n-\bruch{3}{4}}
[/mm]
und somit
[mm] |f_n(x)| \le \bruch{1}{ n(n-\bruch{3}{4})}
[/mm]
FRED
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