Supremum und Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit Folgen, da gehts auch ums Supremum, und ich hab da eine Frage, die mich schon den ganzen Tag wurmt.
Also ich habe zuerst einen Satz (*) zu dem Supremum einer Menge, der sagt, dass für eine Teilmenge [mm] A\subset\IR [/mm] eine obere Schranke s genau dann Supremum von A ist, wenn es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein $x [mm] \in [/mm] A$ gibt, mit [mm] x>s-\epsilon.
[/mm]
Das ist mir anschaulich soweit klar. Da s ein Supremum ist, ist jedes noch so direkt links von s liegendes Element ein Element der Menge A.
Jetzt gehts weiter zu Folgen.
Ich habe hier eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge [mm] (a_n) [/mm] gegeben, und da steht dann, dass es auch hier ein Supremum gibt, dass dann [mm] \alpha=sup(a_n) [/mm] genannt wird. Und für dieses Supremum gilt auch hier, dass es ein Folgenglied [mm] a_{n_\epsilon} [/mm] gibt, für das gilt, dass [mm] \alpha-\epsilon
Das versteh ich auch noch. Die Folgenglieder sind ja nix anderes als eine unendliche Menge, die Menge der Folgenglieder ist nach oben beschränkt, da es eine nach oben beschränkte Folge ist, also gibt es ein Supremum. Und wenn es ein Supremum gibt, muss jedes noch so nah links am Supremum liegende Folgenglied immer noch in der Menge der Folgenglieder liegen.
Darauf folgend gibt es einen Satz (#), der sagt erstens, dass - wenn [mm] (a_n) [/mm] eine nach oben beschränkte, monoton wachsende Folge ist - dass die Zahl [mm] \alpha [/mm] wirklich existiert und zweitens, dass es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] n_\epsilon [/mm] gibt, so dass [mm] |a_n-\alpha|<\epsilon [/mm] für alle $n [mm] \ge n_\epsilon$.
[/mm]
Da der zweite Teil des Satzes genau mit der Defintion eines Grenzwertes übereinstimmt, wird gesagt, dass [mm] \alpha [/mm] der Grenzwert der Folge ist.
So, prinzipiell kann ich dem Ganzen denk ich folgen, was mich nur so wurmt, ist, dass die Folge monoton wachsend sein muss.
Was, wenn die Folge nicht monoton wachsend ist? Wenn sie entweder monoton fällt oder gar nicht monoton ist?
Dann ist die Menge der Folgenglieder trortdem weiterhin nach oben beschränkt, es gibt also weiterhin ein Supremum und es gibt auch immer noch eine Zahl, die direkt links vom Supremum liegt, die noch zur Menge der Folgenglieder gehört.
Also gilt der letzte Satz (#) doch auch immer noch.
Wofür brauch ich in dem Satz also die Voraussetzung, dass die Folge monoton wachsend sein muss?
Und das führt mich dann irgendwie zu der Frage, wie denn z.B. der Grenzwert einer nach oben beschränkten monoton fallenden Folge aussieht?
Weil halt wie gesagt ich denke, dass der Satz auch für monoton fallende Folgen gelten müsste, aber dann wäre das Supremum ja auch der Grenzwert einer monoton fallenden Folge oder ein gar nicht monotonen Folge und ich glaube das geht nicht 
Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 23.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
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> Ich beschäftige mich gerade mit Folgen, da gehts auch ums
> Supremum, und ich hab da eine Frage, die mich schon den
> ganzen Tag wurmt.
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> Also ich habe zuerst einen Satz (*) zu dem Supremum einer
> Menge, der sagt, dass für eine Teilmenge [mm]A\subset\IR[/mm] eine
> obere Schranke s genau dann Supremum von A ist, wenn es zu
> jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]x \in A[/mm] gibt, mit [mm]x>s-\epsilon.[/mm]
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> Das ist mir anschaulich soweit klar. Da s ein Supremum ist,
> ist jedes noch so direkt links von s liegendes Element ein
> Element der Menge A.
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>
> Jetzt gehts weiter zu Folgen.
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> Ich habe hier eine monoton wachsende, nach oben
> beschränkte Folge [mm](a_n)[/mm] gegeben, und da steht dann, dass
> es auch hier ein Supremum gibt, dass dann [mm]\alpha=sup(a_n)[/mm]
> genannt wird. Und für dieses Supremum gilt auch hier, dass
> es ein Folgenglied [mm]a_{n_\epsilon}[/mm] gibt, für das gilt, dass
> [mm]\alpha-\epsilon
>
> Das versteh ich auch noch. Die Folgenglieder sind ja nix
> anderes als eine unendliche Menge, die Menge der
> Folgenglieder ist nach oben beschränkt, da es eine nach
> oben beschränkte Folge ist, also gibt es ein Supremum. Und
> wenn es ein Supremum gibt, muss jedes noch so nah links am
> Supremum liegende Folgenglied immer noch in der Menge der
> Folgenglieder liegen.
>
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> Darauf folgend gibt es einen Satz (#), der sagt erstens,
> dass - wenn [mm](a_n)[/mm] eine nach oben beschränkte, monoton
> wachsende Folge ist - dass die Zahl [mm]\alpha[/mm] wirklich
> existiert und zweitens, dass es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]n_\epsilon[/mm] gibt, so dass [mm]|a_n-\alpha|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge n_\epsilon[/mm].
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> Da der zweite Teil des Satzes genau mit der Defintion eines
> Grenzwertes übereinstimmt, wird gesagt, dass [mm]\alpha[/mm] der
> Grenzwert der Folge ist.
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> So, prinzipiell kann ich dem Ganzen denk ich folgen, was
> mich nur so wurmt, ist, dass die Folge monoton wachsend
> sein muss.
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> Was, wenn die Folge nicht monoton wachsend ist? Wenn sie
> entweder monoton fällt oder gar nicht monoton ist?
Dann gibt es zwar das Supremum, aber du kannst nicht mehr folgern, dass die Folge immer näher an das Supremum herankommt. Die Aussage [mm]|a_n-\alpha|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge n_\epsilon[/mm] bedeutet doch, dass alle Folgenglieder ab [mm] $n_\epsilon$ [/mm] rechts von [mm] $\alpha-\varepsilon$ [/mm] auf der Zahlengerade liegen.
Wenn die Folge monoton fällt, dann ist es doch plausibel (wenn auch nicht notwendig so), dass zwischen [mm] $\alpha-\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] nur endlich viele Folgenglieder liegen, weil die weiteren Folgenglieder wieder weiter links liegen, also [mm] $<\alpha-\varepsilon$ [/mm] sind.
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> Dann ist die Menge der Folgenglieder trortdem weiterhin
> nach oben beschränkt, es gibt also weiterhin ein Supremum
> und es gibt auch immer noch eine Zahl, die direkt links vom
> Supremum liegt, die noch zur Menge der Folgenglieder
> gehört.
>
> Also gilt der letzte Satz (#) doch auch immer noch.
Nein, denn wie du selbst schreibst, gibt es eine Zahl, die direkt links vom Supremum liegt. Was du aber brauchst, ist, dass nicht nur diese Zahl, sondern auch alle Folgenglieder danach, also alle ab [mm] $a_{n_\varepsilon}$ [/mm] direkt links vom Supremum liegen.
Das soll nicht heißen, dass es keine solchen Folgen gibt, die nach oben beschränkt, aber nicht monoton sind, und trotzdem gegen das Supremum konvergieren. Nur kannst du auf diese die Argumentation nicht anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für deine Antwort, Rainer!
Ich denke, ich sehe jetzt klarer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich beschäftige mich gerade mit Folgen, da gehts auch ums
> Supremum, und ich hab da eine Frage, die mich schon den
> ganzen Tag wurmt.
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> Also ich habe zuerst einen Satz (*) zu dem Supremum einer
> Menge, der sagt, dass für eine Teilmenge [mm]A\subset\IR[/mm] eine
> obere Schranke s genau dann Supremum von A ist, wenn es zu
> jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]x \in A[/mm] gibt, mit [mm]x>s-\epsilon.[/mm]
>
> Das ist mir anschaulich soweit klar. Da s ein Supremum ist,
> ist jedes noch so direkt links von s liegendes Element ein
> Element der Menge A.
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> Jetzt gehts weiter zu Folgen.
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> Ich habe hier eine monoton wachsende, nach oben
> beschränkte Folge [mm](a_n)[/mm] gegeben, und da steht dann, dass
> es auch hier ein Supremum gibt, dass dann [mm]\alpha=sup(a_n)[/mm]
> genannt wird. Und für dieses Supremum gilt auch hier, dass
> es ein Folgenglied [mm]a_{n_\epsilon}[/mm] gibt, für das gilt, dass
> [mm]\alpha-\epsilon
>
> Das versteh ich auch noch. Die Folgenglieder sind ja nix
> anderes als eine unendliche Menge, die Menge der
> Folgenglieder ist nach oben beschränkt, da es eine nach
> oben beschränkte Folge ist, also gibt es ein Supremum. Und
> wenn es ein Supremum gibt, muss jedes noch so nah links am
> Supremum liegende Folgenglied immer noch in der Menge der
> Folgenglieder liegen.
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> Darauf folgend gibt es einen Satz (#), der sagt erstens,
> dass - wenn [mm](a_n)[/mm] eine nach oben beschränkte, monoton
> wachsende Folge ist - dass die Zahl [mm]\alpha[/mm] wirklich
> existiert und zweitens, dass es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]n_\epsilon[/mm] gibt, so dass [mm]|a_n-\alpha|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge n_\epsilon[/mm].
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> Da der zweite Teil des Satzes genau mit der Defintion eines
> Grenzwertes übereinstimmt, wird gesagt, dass [mm]\alpha[/mm] der
> Grenzwert der Folge ist.
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> So, prinzipiell kann ich dem Ganzen denk ich folgen, was
> mich nur so wurmt, ist, dass die Folge monoton wachsend
> sein muss.
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> Was, wenn die Folge nicht monoton wachsend ist? Wenn sie
> entweder monoton fällt oder gar nicht monoton ist?
>
> Dann ist die Menge der Folgenglieder trortdem weiterhin
> nach oben beschränkt, es gibt also weiterhin ein Supremum
> und es gibt auch immer noch eine Zahl, die direkt links vom
> Supremum liegt, die noch zur Menge der Folgenglieder
> gehört.
>
> Also gilt der letzte Satz (#) doch auch immer noch.
Nein. Sei [mm] $(a_n) [/mm] = (0,1,0,1,0,1,0,1,......)$
[mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt, aber nicht konvergent
FRED
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> Wofür brauch ich in dem Satz also die Voraussetzung, dass
> die Folge monoton wachsend sein muss?
>
> Und das führt mich dann irgendwie zu der Frage, wie denn
> z.B. der Grenzwert einer nach oben beschränkten monoton
> fallenden Folge aussieht?
>
> Weil halt wie gesagt ich denke, dass der Satz auch für
> monoton fallende Folgen gelten müsste, aber dann wäre das
> Supremum ja auch der Grenzwert einer monoton fallenden
> Folge oder ein gar nicht monotonen Folge und ich glaube das
> geht nicht
>
> Wo ist mein Denkfehler?
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>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> LG Nadine
>
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