Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Zeige: In einem angeordneten Körper K gilt genau dann das Vollständigkeitsaxiom (jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Sup in K), wenn jede nach unten beschränkte Teilmenge von K ein Infimum in K hat. |
Es gilt x [mm] \le [/mm] a [mm] \gdw [/mm] -a [mm] \le [/mm] -x.
a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine Menge M , wenn -a größte untere Schranke für [mm] M^{-1} [/mm] = {-x | x [mm] \in [/mm] M } ist.
Ist damit nicht schon alles gezeigt (weil ja Äquivalenz gilt)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: In einem angeordneten Körper K gilt genau dann das
> Vollständigkeitsaxiom (jede nach oben beschränkte
> Teilmenge besitzt ein Sup in K), wenn jede nach unten
> beschränkte Teilmenge von K ein Infimum in K hat.
> Es gilt x [mm]\le[/mm] a [mm]\gdw[/mm] -a [mm]\le[/mm] -x.
>
> a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine
> Menge M , wenn -a größte untere Schranke für [mm]M^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=
> {-x | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M } ist.
>
> Ist damit nicht schon alles gezeigt (weil ja Äquivalenz
> gilt)?
Du hast schon die richtige Idee. Aber etwas aisführlicher sollt der Beweis schon sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rollroll |
An welcher Stelle soll ich denn noch was ergänzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Bzw. an welcher Stelle / welchen Stellen ist der Beweis denn unvollständig?
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> Bzw. an welcher Stelle / welchen Stellen ist der Beweis
> denn unvollständig?
Hallo,
Du machst Andeutungen, überläßt aber zu viel der Fantasie des Lesers.
Du willst für einen angeordneten Körper K zeigen:
jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Sup in K
<==>
jede nach unten beschränkte Teilmenge von K hat ein Infimum in K.
"==>"
Hier würde man erwarten, daß es losgeht mit:
"sei M eine nach unten beschränkte Teilmenge von K."
Und dann müßtest Du mithilfe der Voraussetzung eine lückenlose Argumentation entwickeln, die darin gipfelt, daß M ein Infimum in K hat.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
=> Sei also M eine nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von K.
Dann besitzt M eine obere Schranke a (sup(M)=a) und es gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M:
x [mm] \le [/mm] a. x [mm] \le [/mm] a ist äquivalent zu -a [mm] \le [/mm] -x.Also ist -a größte untere Schranke von M. a ist also genau dann kleinste obere Schranke für eine Menge M, wenn -a größte untere Schranke für [mm] M^{-} [/mm] = {-x| x [mm] \in [/mm] M} ist. Also ist -a=inf(M). M besitzt also ein Infimum in K.
Ist die Hinrichtung so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> => Sei also M eine nach oben beschränkte, nicht-leere
> Teilmenge von K.
> Dann besitzt M eine obere Schranke a (sup(M)=a) und es
> gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M:
> x [mm]\le[/mm] a. x [mm]\le[/mm] a ist äquivalent zu -a [mm]\le[/mm] -x.
> Also ist -a größte untere Schranke von M.
Hier meinst Du wohl [mm] M^{-}
[/mm]
Dass -a die größte untere Schranke von [mm] M^{-} [/mm] ist, solltest Du noch begründen.
a ist also genau dann
> kleinste obere Schranke für eine Menge M, wenn -a größte
> untere Schranke für [mm]M^{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {-x| x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M} ist. Also ist
> -a=inf(M). M besitzt also ein Infimum in K.
>
> Ist die Hinrichtung so korrekt?
Ist der Delinquent denn auch wirklich tot ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke. Die Rückrichtung geht ja dann analog dazu.
Ist das, was ich zur Lipschitz-konstante geschrieben (in einer anderen Frage) hatte, ok?
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