Supremum und Infinum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Do 21.02.2008 | | Autor: | MattiJo |
Hallo,
ich hab mal eine Frage:
Wie berechne/ermittle ich Supremum und Infinum einer Funktion? Und worin liegt der Unterschied zwischen Supremum und Maximum bzw. Infinum und Minimum?
Also wie ich es bisher verstanden hab, sind Supremum und Infinum die Schranken und Maximum/Minimum Extrema. Ok. Aber anscheinend gibt es Fälle wo es keinen Unterschied gibt (gibt es vllt allgemein keinen?) und ich weiß ja immer noch nicht wie ich Supremum und Infinum berechne bzw. ermittle.
Viele Grüße und danke schonmal im Voraus,
Matti
|
|
| |
|
> Wie berechne/ermittle ich Supremum und Infinum einer
> Funktion? Und worin liegt der Unterschied zwischen Supremum
> und Maximum bzw. Infinum und Minimum?
Hallo,
der Schlüssel zur Antwort liegt in der Definition.
Man muß sich hier beschäftigen mit
- oberer Schranke
- Supremum
- Maximum.
Wann heißt S obere Schranke einer Funktion f: [mm] D\to \IR [/mm] ? (D: Definitionsbereich)
Wenn alle Funktionswerte, die f annimmt, kleinergleich S sind. Also:
S ist obere Schranke von f
<==>
Es ist [mm] f(x)\le [/mm] S für alle [mm] x\in [/mm] D.
Es ist wichtig sich klarzumachen, daß es nicht "die obere Schranke" gibt, sondern "eine obere Schranke".
Denn wenn alle Funktionswerte kleiner als 5 sind, sind sie natürlich auch kleiner als 137 und als 5Millionen.
Beispiel:
betrachte die Funktion f: [mm] \IR_+ \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=5-\bruch{1}{x}.
[/mm]
5, 137 und 5Millionen sind obere Schranken dieser Funktion.
Was ist nun das Supremum einer Funktion?
Über "Supremum" zu reden ist nur sinnvoll bei Funktionen, die nach oben beschränkt sind.
Von all den oberen Schranken der Funktion ist das Supremum die kleinste.
Damit ist das Supremum eindeutig - im Gegensatz zur oberen Schranke.
Ein Supremum ist also eine obere Schranke der Funktion mit folgender Eigenschaft:
jede andere obere Schranke ist größer.
Beispiel:
betrachte die Funktion f: [mm] \IR_+ \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=5-\bruch{1}{x}.
[/mm]
5 ist das Supremum dieser Funktion, denn alle anderen oberen Schranken sind größer.
Das Maximum einer Funktion f ist der größte Wert, den diese Funktion annimmt, also
M ist das Maximum der Funktion
<==>
Es gibt ein [mm] x_M \in [/mm] D mit [mm] f(x_M)=M [/mm] und es ist M [mm] \ge [/mm] f(x) für alle [mm] x\in [/mm] D.
Schauen wir nun noch einmal die Funktion
f: [mm] \IR_+ \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=5-\bruch{1}{x}
[/mm]
an.
Diese Funktion hat kein Maximum, denn die obere Schranke 5 wird an keiner Stelle angenommen.
Ein Maximum hat die Funktion
[mm] g:\IR \to \IR [/mm] mit
g(x):= [mm] -x^2+5.
[/mm]
Es ist 5 das Maximum dieser Funktion.
Überlege Dir, daß 5 auch das Supremum dieser Funktion ist.
Überzeuge Dich, daß 5 eine obere Schranke ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
