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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 21.04.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Der Vektorraum V := [mm] C^0([a,b]) [/mm] werde mit der Supremums-Norm ||f|| := [mm] sup_{[a,b]}|f| [/mm] versehen. Zeigen Sie:
a) Eine Folge [mm] (f_n) [/mm] in V konvergiert genau dann bezüglich der Supremums-Norm gegen ein f [mm] \in [/mm] V, wenn die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert.
b) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] x^n [/mm] in V zwar beschränkt ist, dass sie aber keine konvergente Teilfolge besitzt. |
Frage 1: Was ist [mm] C^0 [/mm] (seltsam geschlängeltes C) für ein Vektorraum? Was hat er für Eigenschaften? Besitzt er einen speziellen Namen damit ich ihn mal in einschlägiger Literatur suchen kann?
Solange ich das nicht weiß, macht es momentan wenig Sinn, genauer auf die Aufgabe einzugehen. Falls ich dort weitere Fragen ergeben, würde ich mich wieder melden. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Vektorraum V := [mm]C^0([a,b])[/mm] werde mit der Supremums-Norm
> ||f|| := [mm]sup_{[a,b]}|f|[/mm] versehen. Zeigen Sie:
>
> a) Eine Folge [mm](f_n)[/mm] in V konvergiert genau dann bezüglich
> der Supremums-Norm gegen ein f [mm]\in[/mm] V, wenn die
> Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert.
> b) Zeigen Sie, dass die Folge [mm]f_n(x)[/mm] := [mm]x^n[/mm] in V zwar
> beschränkt ist, dass sie aber keine konvergente Teilfolge
> besitzt.
>
> Frage 1: Was ist [mm]C^0[/mm] (seltsam geschlängeltes C) für ein
> Vektorraum?
Normalerweise bezeichnet man mit [mm] $C^k(I)$ [/mm] fuer ein Intervall $I$ den Vektorraum der Funktionen $I [mm] \to \IR$, [/mm] die $k$-mal stetig differenzierbar sind. Fuer $k = 0$ heisst das also, dass sie stetig sind.
> Was hat er für Eigenschaften?
Er ist unendlichdimensional. Und er besitzt eine multiplikative Struktur.
> Besitzt er einen speziellen Namen damit ich ihn mal in einschlägiger Literatur suchen kann?
Er wird fast immer als [mm] $C^0$ [/mm] bezeichnet (bzw. [mm] $\mathcal{C}^0$ [/mm] oder so).
> Solange ich das nicht weiß, macht es momentan wenig Sinn,
> genauer auf die Aufgabe einzugehen. Falls ich dort weitere
> Fragen ergeben, würde ich mich wieder melden.
Ok :)
LG Felix
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