Surjektion in proj Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Fr 30.12.2016 | | Autor: | DerPanda |
Hallo Folks,
ich habe ein Verständnisproblem beim folgenden Beispiel aus dem Buch "Grundkurs Topologie" von Szymik und Laures.
Betrachte Surjektion von der Sphäre in den projektiven Raum
[mm] p:S^n \to \IR P^n
[/mm]
welche einem Vektor der Länge 1 die erzeugte Gerade zuordnet. Die Abb ist offen, denn ist U eine offene Teilmenge des [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0}, die keine gegenüberliegende Punktepaare {x, -x} enthält, so ist p(U [mm] \cap S^n) [/mm] offen, weil das Urbild dieser Menge im Raum [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} offen ist.
Es ergeben sich für mich zwei Fragen:
Wieso darf die gewählte offene Menge U NICHT ein Punktepaar {x, -x} enthalten und zweitens: wieso ist dann das Urbild von p(U [mm] \cap S^n) [/mm] offen in [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0}? Da [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} ausgestattet ist mit von [mm] \IR^{n+1} [/mm] induzierten UR-Topologie, kann doch dort eine Teilmenge von [mm] S^n [/mm] niemals offen sein, oder ist hier mit dem "Urbild" von p(U [mm] \cap S^n) [/mm] das Urbild unter kan. Quotientenabb. k: [mm] \IR^{n+1} \backslash [/mm] {0} [mm] \to \IR P^n [/mm] gemeint? Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl. irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber wie?
Ich orientiere mich bei allen vorkommenden Definitionen an der angegebenen Literaturquelle (Zum Reinlesen: 2.4 Universelle Konstruktionen, S. 33).
Gruß
Panda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 01.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Hallo Folks,
> ich habe ein Verständnisproblem beim folgenden Beispiel
> aus dem Buch "Grundkurs Topologie" von Szymik und Laures.
> Betrachte Surjektion von der Sphäre in den projektiven
> Raum
>
> [mm]p:S^n \to \IR P^n[/mm]
>
> welche einem Vektor der Länge 1 die erzeugte Gerade
> zuordnet. Die Abb ist offen, denn ist U eine offene
> Teilmenge des [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0}, die keine
> gegenüberliegende Punktepaare {x, -x} enthält, so ist p(U
> [mm]\cap S^n)[/mm] offen, weil das Urbild dieser Menge im Raum
> [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} offen ist.
> Es ergeben sich für mich zwei Fragen:
> Wieso darf die gewählte offene Menge U NICHT ein
> Punktepaar {x, -x} enthalten und zweitens: wieso ist dann
> das Urbild von p(U [mm]\cap S^n)[/mm] offen in [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm]
> {0}? Da [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} ausgestattet ist mit von
> [mm]\IR^{n+1}[/mm] induzierten UR-Topologie, kann doch dort eine
> Teilmenge von [mm]S^n[/mm] niemals offen sein, oder ist hier mit dem
> "Urbild" von p(U [mm]\cap S^n)[/mm] das Urbild unter kan.
> Quotientenabb. k: [mm]\IR^{n+1} \backslash[/mm] {0} [mm]\to \IR P^n[/mm]
> gemeint?
Ja, so dürfte es gemeint sein.
> Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> wie?
Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm] $P\IR^{n}$. [/mm] Teile sie einfach hier mit.
Einen Grund, weshalb [mm] $\{x,-x\}\subseteq [/mm] U$ nicht zulässig sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als die Stetigkeit von $p$.
> Ich orientiere mich bei allen vorkommenden Definitionen an
> der angegebenen Literaturquelle (Zum Reinlesen: 2.4
> Universelle Konstruktionen, S. 33).
>
> Gruß
> Panda
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 01.01.2017 | | Autor: | DerPanda |
Hi,
Frohes neues Jahr und danke für die Rückmeldung.
> > Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> > irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> > wie?
> Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm].
> Teile sie einfach hier mit.
Bei der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm] handelt es sich um von p: [mm] IR^{n}/{0} \to P\IR^{n} [/mm] coinduzierte Topologie, d. h. [mm] \cap [/mm] {U [mm] \subseteq P\IR^{n} [/mm] | [mm] p^{-1}(U) [/mm] offen in [mm] IR^{n}/{0} [/mm] }
>
> Einen Grund, weshalb [mm]\{x,-x\}\subseteq U[/mm] nicht zulässig
> sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht
> nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als
> die Stetigkeit von [mm]p[/mm].
Hier ist der Link zum beschriebenen Textabschnitt:
![[]](/images/popup.gif) Grundkurs Topologie
Vielleicht habe ich dort ggf. ein Detail übersehen.
Gruß
Panda
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> Hi,
> Frohes neues Jahr und danke für die Rückmeldung.
>
> > > Wenn ja, wieso ist das dann offen (hängt vermutl.
> > > irgendwie mit der Forderung (siehe erste Frage) an U. Aber
> > > wie?
> > Es hängt an der Definition der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm].
> > Teile sie einfach hier mit.
>
> Bei der Topologie auf [mm]P\IR^{n}[/mm] handelt es sich um von p:
> [mm]IR^{n}/{0} \to P\IR^{n}[/mm] coinduzierte Topologie, d. h. [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> {U [mm]\subseteq P\IR^{n}[/mm] | [mm]p^{-1}(U)[/mm] offen in [mm]IR^{n}/{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> >
> > Einen Grund, weshalb [mm]\{x,-x\}\subseteq U[/mm] nicht zulässig
> > sein sollte, kann ich mit den gegebenen Informationen nicht
> > nennen. Vielleicht geht es dabei noch um etwas anderes als
> > die Stetigkeit von [mm]p[/mm].
>
> Hier ist der Link zum beschriebenen Textabschnitt:
>
> Grundkurs Topologie
>
> Vielleicht habe ich dort ggf. ein Detail übersehen.
Hallo,
die Formulierung im Buch erscheint mit nicht ganz schlüssig, irgendwie habe ich den Eindruck, dass der Autor da nicht so richtig nachgedacht hat. Gemeint ist womöglich der folgende Gedankengang:
Man betrachtet eine offene Teilmenge [mm]V\subset S^n[/mm] und möchte zeigen, dass p(V) in [mm] P\IR^{n}[/mm] offen ist. Dazu schreibt man [mm]V=U\cap S^n[/mm] mit [mm]U\subset IR^{n+1}[/mm], wobei U als das Urbild von V unter der kanonischen Projektion [mm]IR^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n[/mm] gewählt wird. Enthält V und damit U keine gegenüberliegenden Punkte (die Voraussetzung ist nicht wirklich nötig, macht es aber einfacher, da "Überschneidungen" beim Urbild vermieden werden), so besteht [mm]k^{-1}(p(V))[/mm] aus zwei "Kopien" von U und ist damit offen in [mm]IR^{n+1}\setminus\{0\}[/mm], woraus die Offenheit von p(V) nach Definition der coinduzierte Topologie folgt.
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> Gruß
> Panda
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