Surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | [mm] h:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] h(x)=\begin{cases} x^{-2}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ -x^2, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ist h surjektiv? |
Hallo,
wollte die Aufgabe mal als Übung berechnen!
Aber ich hab dazu mal eine Frage...und zwar wollte ich wissen,
wie ich das denn hier mache wenn ich für diese Funktion quasi 2 einzelne Funktionen habe?
muss ich dann überprüfen ob jeweils x^-2 und [mm] -x^2 [/mm] surjetiv sind und kann dann sagen , dass dann ganz h(x) surjetiv ist oder wie mach ich das am besten?
danke schonmal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 28.02.2010 | | Autor: | nooschi |
>
> [mm] h:\IR \to \IR
[/mm]
>
> h(x)= [mm] \begin{cases} x^{-2}, & \mbox{für } x>0 \\ -x^2, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}
[/mm]
>
> ist h surjektiv?
> Hallo,
>
> wollte die Aufgabe mal als Übung berechnen!
> Aber ich hab dazu mal eine Frage...und zwar wollte ich
> wissen,
> wie ich das denn hier mache wenn ich für diese Funktion
> quasi 2 einzelne Funktionen habe?
> muss ich dann überprüfen ob jeweils x^-2 und [mm] -x^2 [/mm]
> surjetiv sind und kann dann sagen , dass dann ganz h(x)
> surjetiv ist oder wie mach ich das am besten?
wenn du zeigen könntest, dass [mm] x^{-2} [/mm] und [mm] -x^2 [/mm] je surjektiv sind, dann wäre natürlich auch die ganze Funktion surjektiv. Das Problem ist nur, dass du das nicht zeigen kannst, weil es nicht stimmt 
Also was du am Ende gezeigt haben willst, ist, dass mit h(x) jeder Wert in [mm] \IR [/mm] mindestens einmal erreicht wird.
Überlege dir wie die Funktionen ausschauen:
[mm] -x^2 [/mm] ist die normale Parabel der Quadratischen Funktion, einfach gespiegelt an der x-Achse. hier betrachten wir ja nur die Werte für die negativen x und für x=0. aber graphisch gesehen ist so klar, dass jeder negative y-Wert und 0 getroffen wird (musst du natürlich noch richtig beweisen).
[mm] x^{-2} [/mm] kennst du warscheinlich auch, dass ist die Funktion, welche bei 0 eine Definitionslücke hat und die y-Werte in der Nähe von 0 gegen [mm] \infty [/mm] gehen. Für x gegen [mm] \infty [/mm] (die negativen x-Werte müssen uns je nicht interessieren) gehen die dazugehörigen y-Werte immer näher nach 0. Das heisst du kannst beweisen, dass mit [mm] x^{-2} [/mm] und für positive x alle positiven y-Werte erreicht werden.
Wenn du das gezeigt hast bist du fertig, denn du hast gezeigt, dass alle negativen y-Werte, alle positiven y-Werte und 0 mit h(x) erreicht werden. (also h(x) ist surjektiv)
>
> danke schonmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ja okay so hab ich mir das auch gedacht! aber wieso haste zuerst geschrieben: " dann wäre natürlich auch die ganze Funktion
> surjektiv. Das Problem ist nur, dass du das nicht zeigen
> kannst, weil es nicht stimmt "
und dann am schluss : "(also h(x) ist
> surjektiv)"
das verwirrt mich jetzt nen bisschen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 28.02.2010 | | Autor: | nooschi |
sorry, etwas unklar.
also h(x) insgesamt ist surjektiv, aber die einzelnen Teilfunktionen nur für sich angeschaut sind nicht surjektiv.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 02.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
kann ich das so machen:
[mm] h_1(x)= [/mm] x^-2
y=x^-2
<=> [mm] y=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
<=> [mm] y*x^2=1
[/mm]
<=> [mm] x^2= \bruch{1}{y}
[/mm]
<=> x= [mm] \wurzel{\bruch{1}{y} }
[/mm]
[mm] h_2(x)= -x^2
[/mm]
<=> y= [mm] -x^2
[/mm]
<=> [mm] y*x^2=-1
[/mm]
<=> [mm] x^2= \bruch{-1}{y}
[/mm]
<=> x= [mm] \wurzel{ \bruch{-1}{y} }
[/mm]
kann ich so beweisen, dass die Funktion surjektiv ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum denn so umstaändlich ?
Beh.: h ist surjektiv.
Bew.: z.z. : ist [mm] y_0 \in \IR, [/mm] so ex. [mm] x_0 \in \Ir [/mm] mit [mm] h(x_0) =y_0.
[/mm]
Fall 1: [mm] y_0 [/mm] <0. Setze [mm] $x_0 [/mm] = - [mm] \wurzel{-y_0}$. [/mm] Dann ist [mm] x_0 [/mm] <0 und [mm] y_0= -x_0^2 =h(x_0)
[/mm]
Fall 2: [mm] y_0 [/mm] = 0. Es ist h(0)=0
Fall 3: [mm] y_0 [/mm] > 0. Setze [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{y_0}}. [/mm] Dann : [mm] h(x_0) =y_0
[/mm]
FRED
|
|
|
|
