Surjektive stetige Abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
i) g: [0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
ii) h: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] [mm] \cup [/mm] [2,3]
gibt. |
Zum Teil i)
Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min. annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm] \IR, [/mm] also kann g nicht surjektiv sein.
Meine Fragen:
Ist mein Gedankengang richtig?
Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm] [2,3]
> gibt.
> Zum Teil i)
>
> Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> also kann g nicht surjektiv sein.
>
> Meine Fragen:
> Ist mein Gedankengang richtig?
Ja
> Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm] \ne \IR.
[/mm]
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm]
> [2,3]
> > gibt.
> > Zum Teil i)
> >
> > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > also kann g nicht surjektiv sein.
> >
> > Meine Fragen:
> > Ist mein Gedankengang richtig?
>
> Ja
>
>
> > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
>
> Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
>
> Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nun zur ii)
Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser besagt, dass zu jedem u [mm] \in [/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm] \le [/mm] h(1) ein c [mm] \in [/mm] [0,1] mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm] c_{0} \in [/mm] [0,1] existieren, so dass [mm] h(c_{0})=1,5. [/mm] Da aber 1,5 [mm] \not\in [/mm] [0,1] [mm] \cup [/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
Stimmt das so?
>
> FRED
> >
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm]
> > [2,3]
> > > gibt.
> > > Zum Teil i)
> > >
> > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > >
> > > Meine Fragen:
> > > Ist mein Gedankengang richtig?
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> >
> > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
> >
> > Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
>
>
> Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Nun zur ii)
> Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser besagt, dass zu
> jedem u [mm]\in[/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm]\le[/mm] h(1) ein c [mm]\in[/mm] [0,1]
> mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm]c_{0} \in[/mm] [0,1]
> existieren, so dass [mm]h(c_{0})=1,5.[/mm] Da aber 1,5 [mm]\not\in[/mm] [0,1]
> [mm]\cup[/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
>
> Stimmt das so?
Nein !. Wer sagt denn, dass h(0) [mm] \le [/mm] 1,5 [mm] \le [/mm] h(1) ist ?
Es ist 1 [mm] \in [/mm] h([0,1]) und 2 [mm] \in [/mm] h([0,1)].
Jetzt Zwischenwertsatz !
FRED
>
> >
> > FRED
> > >
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1]
> [mm]\cup[/mm]
> > > [2,3]
> > > > gibt.
> > > > Zum Teil i)
> > > >
> > > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > > >
> > > > Meine Fragen:
> > > > Ist mein Gedankengang richtig?
> > >
> > > Ja
> > >
> > >
> > > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> > >
> > > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
> > >
> > > Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
> >
> >
> > Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> >
> > Nun zur ii)
> > Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser besagt, dass
> zu
> > jedem u [mm]\in[/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm]\le[/mm] h(1) ein c [mm]\in[/mm] [0,1]
> > mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm]c_{0} \in[/mm] [0,1]
> > existieren, so dass [mm]h(c_{0})=1,5.[/mm] Da aber 1,5 [mm]\not\in[/mm] [0,1]
> > [mm]\cup[/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
> >
> > Stimmt das so?
>
>
> Nein !. Wer sagt denn, dass h(0) [mm]\le[/mm] 1,5 [mm]\le[/mm] h(1) ist ?
>
> Es ist 1 [mm]\in[/mm] h([0,1]) und 2 [mm]\in[/mm] h([0,1)].
>
> Jetzt Zwischenwertsatz !
Also müsste es ein c [mm] \in [/mm] [0,1] geben, dessen Bild h(c) [mm] \in [/mm] [2,3] was aber ein Widerspruch ist.
Also nochmal komplett:
Ich nehme an, das h stetig und surjektiv ist. Dann gibt es a,b [mm] \in [/mm] [0,1] mit f(a)=1 und f(b)=2. Da h stetig, gibt es laut Zwischenwertsatz ein c [mm] \in [/mm] [0,1] mit h(c)=1,5 was aber nicht sein kann. Also Widerspruch.
Mir ist nicht klar, wo hierbei die Surjektivität eingeht.
>
> FRED
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> > > FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > > > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > > > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm]
> [0,1]
> > [mm]\cup[/mm]
> > > > [2,3]
> > > > > gibt.
> > > > > Zum Teil i)
> > > > >
> > > > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > > > >
> > > > > Meine Fragen:
> > > > > Ist mein Gedankengang richtig?
> > > >
> > > > Ja
> > > >
> > > >
> > > > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> > > >
> > > > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
> > > >
> > > > Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
> > >
> > >
> > > Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> > >
> > > Nun zur ii)
> > > Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser besagt,
> dass
> > zu
> > > jedem u [mm]\in[/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm]\le[/mm] h(1) ein c [mm]\in[/mm] [0,1]
> > > mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm]c_{0} \in[/mm] [0,1]
> > > existieren, so dass [mm]h(c_{0})=1,5.[/mm] Da aber 1,5 [mm]\not\in[/mm] [0,1]
> > > [mm]\cup[/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> >
> > Nein !. Wer sagt denn, dass h(0) [mm]\le[/mm] 1,5 [mm]\le[/mm] h(1) ist ?
> >
> > Es ist 1 [mm]\in[/mm] h([0,1]) und 2 [mm]\in[/mm] h([0,1)].
> >
> > Jetzt Zwischenwertsatz !
>
> Also müsste es ein c [mm]\in[/mm] [0,1] geben, dessen Bild h(c) [mm]\in[/mm]
> [2,3] was aber ein Widerspruch ist.
>
> Also nochmal komplett:
> Ich nehme an, das h stetig und surjektiv ist. Dann gibt es
> a,b [mm]\in[/mm] [0,1] mit f(a)=1 und f(b)=2. Da h stetig, gibt es
> laut Zwischenwertsatz ein c [mm]\in[/mm] [0,1] mit h(c)=1,5 was aber
> nicht sein kann. Also Widerspruch.
>
> Mir ist nicht klar, wo hierbei die Surjektivität eingeht.
Erst die Surjektivität von h(x) garantiert dir die Existenz der Werte a und b mit [mm] f(a)\in{[0;1]} [/mm] und [mm] f(b)\in{[2;3]}.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > > > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > > > > ii) h: [0,1]
> [mm]\to[/mm]
> > [0,1]
> > > [mm]\cup[/mm]
> > > > > [2,3]
> > > > > > gibt.
> > > > > > Zum Teil i)
> > > > > >
> > > > > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > > > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > > > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > > > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > > > > >
> > > > > > Meine Fragen:
> > > > > > Ist mein Gedankengang richtig?
> > > > >
> > > > > Ja
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> > > > >
> > > > > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
> > > > >
> > > > > Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> > > >
> > > > Nun zur ii)
> > > > Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser besagt,
> > dass
> > > zu
> > > > jedem u [mm]\in[/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm]\le[/mm] h(1) ein c [mm]\in[/mm] [0,1]
> > > > mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm]c_{0} \in[/mm] [0,1]
> > > > existieren, so dass [mm]h(c_{0})=1,5.[/mm] Da aber 1,5 [mm]\not\in[/mm] [0,1]
> > > > [mm]\cup[/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
> > > >
> > > > Stimmt das so?
> > >
> > >
> > > Nein !. Wer sagt denn, dass h(0) [mm]\le[/mm] 1,5 [mm]\le[/mm] h(1) ist ?
> > >
> > > Es ist 1 [mm]\in[/mm] h([0,1]) und 2 [mm]\in[/mm] h([0,1)].
> > >
> > > Jetzt Zwischenwertsatz !
> >
> > Also müsste es ein c [mm]\in[/mm] [0,1] geben, dessen Bild h(c) [mm]\in[/mm]
> > [2,3] was aber ein Widerspruch ist.
> >
> > Also nochmal komplett:
> > Ich nehme an, das h stetig und surjektiv ist. Dann gibt
> es
> > a,b [mm]\in[/mm] [0,1] mit f(a)=1 und f(b)=2. Da h stetig, gibt es
> > laut Zwischenwertsatz ein c [mm]\in[/mm] [0,1] mit h(c)=1,5 was aber
> > nicht sein kann. Also Widerspruch.
> >
> > Mir ist nicht klar, wo hierbei die Surjektivität eingeht.
>
> Erst die Surjektivität von h(x) garantiert dir die
> Existenz der Werte a und b mit [mm]f(a)\in{[0;1]}[/mm] und
> [mm]f(b)\in{[2;3]}.[/mm]
>
Achso, ja. Das hatte ich gar nicht bedacht.
Ist der Beweis ansonsten, auch formal in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > > > > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > > > > > ii) h:
> [0,1]
> > [mm]\to[/mm]
> > > [0,1]
> > > > [mm]\cup[/mm]
> > > > > > [2,3]
> > > > > > > gibt.
> > > > > > > Zum Teil i)
> > > > > > >
> > > > > > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > > > > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > > > > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > > > > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > > > > > >
> > > > > > > Meine Fragen:
> > > > > > > Ist mein Gedankengang richtig?
> > > > > >
> > > > > > Ja
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> > > > > >
> > > > > > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
> > > > > >
> > > > > > Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Super. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> > > > >
> > > > > Nun zur ii)
> > > > > Ich wende den Zwischenwertsatz an. Dieser
> besagt,
> > > dass
> > > > zu
> > > > > jedem u [mm]\in[/mm] [h(0), h(1)] mit h(0) [mm]\le[/mm] h(1) ein c [mm]\in[/mm] [0,1]
> > > > > mit u=h(c) existiert. Also müsste ein [mm]c_{0} \in[/mm] [0,1]
> > > > > existieren, so dass [mm]h(c_{0})=1,5.[/mm] Da aber 1,5 [mm]\not\in[/mm] [0,1]
> > > > > [mm]\cup[/mm] [2,3] ist, kann h insbesondere nicht surjektiv sein.
> > > > >
> > > > > Stimmt das so?
> > > >
> > > >
> > > > Nein !. Wer sagt denn, dass h(0) [mm]\le[/mm] 1,5 [mm]\le[/mm] h(1) ist ?
> > > >
> > > > Es ist 1 [mm]\in[/mm] h([0,1]) und 2 [mm]\in[/mm] h([0,1)].
> > > >
> > > > Jetzt Zwischenwertsatz !
> > >
> > > Also müsste es ein c [mm]\in[/mm] [0,1] geben, dessen Bild h(c) [mm]\in[/mm]
> > > [2,3] was aber ein Widerspruch ist.
> > >
> > > Also nochmal komplett:
> > > Ich nehme an, das h stetig und surjektiv ist. Dann
> gibt
> > es
> > > a,b [mm]\in[/mm] [0,1] mit f(a)=1 und f(b)=2. Da h stetig, gibt es
> > > laut Zwischenwertsatz ein c [mm]\in[/mm] [0,1] mit h(c)=1,5 was aber
> > > nicht sein kann. Also Widerspruch.
> > >
> > > Mir ist nicht klar, wo hierbei die Surjektivität eingeht.
> >
> > Erst die Surjektivität von h(x) garantiert dir die
> > Existenz der Werte a und b mit [mm]f(a)\in{[0;1]}[/mm] und
> > [mm]f(b)\in{[2;3]}.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
>
> Achso, ja. Das hatte ich gar nicht bedacht.
> Ist der Beweis ansonsten, auch formal in Ordnung?
ach herrje - da muss man sich doch alles zusammensuchen:
Also, Annahme war: Es gibt stetiges $h \colon \red{[0,1]} \to \blue{[0,1] \cup [2,3]}\,,$ welches surjektiv ist.
Jetzt:
> Also nochmal komplett:
> Ich nehme an, das h stetig und surjektiv ist.
Siehe oben.
> Dann gibt es a,b $ \in $ [0,1] mit f(a)=1 und f(b)=2.
(Wie kommst Du auf $f\,$? Aber egal, das ist nur ein Lapsus...)
Genau: Weil $h\,$ surjektiv und $\blue{\textbf{1} \in} [0,1] \subseteqq \blue{([0,1] \cup [2,3])}$ und
$\blue{\textbf{2}} \in [2,3] \subseteqq \blue{([0,1] \cup [2,3])}\,,$ gibt es solche $a,b \in \red{[0,1]}\,.$
> Da h stetig, gibt es laut Zwischenwertsatz ein c $ \in $ [0,1] mit
> h(c)=1,5 was aber nicht sein kann. Also Widerspruch.
Das kann man so schreiben: Es gibt also $a,b \in \red{[0,1]}$ mit $h(a)=1\,$ und
$h(b)=2\,.$
Entsprechend muss $h\,$ auch alle Werte des Intervalls $[\min\{h(a),\,h(b)\};\;\max\{h(a),h(b)\}]$
$=[1;\;2]$ wegen des Zwischenwertsatzes erreichen (wende den Zwischenwertsatz
auf
$\left. h \right|_{[\min\{a,\,b\};\;\max\{a,\,b\}]}$
an).
Es gibt also ein $c \in \red{[0,1]}$ mit $h(c)=1,5\,,$ wegen insbesondere $1,5 \in [1;\;2]\,,$ und wegen
des Zwischenwertsatzes. Aber das ist ein Widerspruch, da $h([0,1]) \subseteq \blue{[0;1] \cup [2;3]}$
gelten muss, wenn $h\,$ den Zielbereich $\blue{[0;1] \cup [2;3]}$ hat.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> >
>
> Achso, ja. Das hatte ich gar nicht bedacht.
> Ist der Beweis ansonsten, auch formal in Ordnung?
>
>
Wesentlich scheint mir herauszuarbeiten, worin der Widerspruch am Ende besteht. Nämlich mit der Voraussetzung, dass es sich bei h nicht um irgendeine Relation handelt, sondern um eine Abbildung (Funktion). Damit muss jedem Wert der Definitionsmenge ein eindeutiger Wert in der Ziel-/Wertemenge zugewiesen werden und du hättest mit c ein Element der Gund-/Definitionsmenge gefunden, bei dem dies nicht der Fall ist.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm]
> [2,3]
> > gibt.
> > Zum Teil i)
> >
> > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > also kann g nicht surjektiv sein.
> >
> > Meine Fragen:
> > Ist mein Gedankengang richtig?
>
> Ja
>
>
> > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
>
> Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
Beim erneuten Durchlesen ist mir gerade aufgefallen, dass bei b das Maximum stehen müsste. Also b:= max g([0,1]).
>
> Dann ist g([0,1])=[a,b] [mm]\ne \IR.[/mm]
>
> FRED
> >
> >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm]
> > [2,3]
> > > gibt.
> > > Zum Teil i)
> > >
> > > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > > also kann g nicht surjektiv sein.
> > >
> > > Meine Fragen:
> > > Ist mein Gedankengang richtig?
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
> >
> > Sei a:= min g([0,1]) und b:=min g([0,1])
>
> Beim erneuten Durchlesen ist mir gerade aufgefallen, dass
> bei b das Maximum stehen müsste. Also b:= max g([0,1]).
ja, das stimmt natürlich - war vermutlich C&P (und wenn's nur mit dem
Auge war). 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Calculu,
> Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm] [2,3]
> gibt.
> Zum Teil i)
>
> Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> also kann g nicht surjektiv sein.
>
> Meine Fragen:
> Ist mein Gedankengang richtig?
> Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
Fred hat bei seinem Gedankengang ja eigentlich noch den Zwischenwertsatz
bemüht (an der Stelle [mm] $g([0,1])=[a,b]\,$ [/mm] - er hätte aber auch einfach nur
$g([0,1]) [mm] \subseteq [/mm] [a,b]$ schreiben können, und das wäre genauso gut gewesen!
Genauer: $g([0,1]) [mm] \subseteqq [/mm] [a,b] [mm] \subsetneqq \IR$ $\Rightarrow$ [/mm] $g([0,1]) [mm] \subsetneqq \IR\,.$).
[/mm]
Deine Überlegung oben hätte ich verkürzt und dann etwa so
aufgeschrieben:
[mm] $g\,$ [/mm] ist stetig auf dem Kompaktum $[0,1] [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Folglich existiert [mm] $\max [/mm] g([0,1]) [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
sei [mm] $M:=\max g([0,1])\,.$ [/mm] Dann ist $M':=M+1 > [mm] M\,$ [/mm] so dass es kein [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $g(x_0)=M'$
[/mm]
geben kann. Wegen $M' [mm] \in \IR$ [/mm] kann folglich [mm] $g\,$ [/mm] nicht surjektiv sein.
Übrigens: Als (ehemaliger) Korrektor hätte ich übrigens kein Problem mit
dem gehabt, was Du geschrieben hast. Eigentlich war das schon korrekt,
Du hast nur sogar zu viel gemacht (es reicht doch, dass [mm] $M+1\,$ [/mm] nicht von [mm] $g\,$
[/mm]
erreicht wird - dass auch [mm] $\min g([0,1])\,-1$ [/mm] von [mm] $g\,$ [/mm] nicht erreicht wird, ist zwar
eine tolle Zusatz-Beobachtung, die brauchen wir dann aber nicht noch
zusätzlich).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo Calculu,
>
> > Zeigen Sie, dass es keine surjektive stetige Abbildung
> > i) g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > ii) h: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] [mm]\cup[/mm]
> [2,3]
> > gibt.
> > Zum Teil i)
> >
> > Da stetige Abbildungen auf kompakten Mengen ihr Max./Min.
> > annehmen, existieren min g([0,1]) und max g([0,1]). Dann
> > liegen aber auch min g([0,1])-1 und max g([0,1])+1 in [mm]\IR,[/mm]
> > also kann g nicht surjektiv sein.
> >
> > Meine Fragen:
> > Ist mein Gedankengang richtig?
> > Wie schreibe ich so etwas sauber auf?
>
> Fred hat bei seinem Gedankengang ja eigentlich noch den
> Zwischenwertsatz
> bemüht (an der Stelle [mm]g([0,1])=[a,b]\,[/mm] - er hätte aber
> auch einfach nur
> [mm]g([0,1]) \subseteq [a,b][/mm] schreiben können, und das wäre
> genauso gut gewesen!
> Genauer: [mm]g([0,1]) \subseteqq [a,b] \subsetneqq \IR[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g([0,1]) \subsetneqq \IR\,.[/mm]).
>
> Deine Überlegung oben hätte ich verkürzt und dann etwa
> so
> aufgeschrieben:
> [mm]g\,[/mm] ist stetig auf dem Kompaktum [mm][0,1] \subseteq \IR\,.[/mm]
> Folglich existiert [mm]\max g([0,1]) \in \IR\,,[/mm]
> sei [mm]M:=\max g([0,1])\,.[/mm]
> Dann ist [mm]M':=M+1 > M\,[/mm] so dass es kein [mm]x_0 \in [0,1][/mm] mit
> [mm]g(x_0)=M'[/mm]
> geben kann. Wegen [mm]M' \in \IR[/mm] kann folglich [mm]g\,[/mm] nicht
> surjektiv sein.
>
> Übrigens: Als (ehemaliger) Korrektor hätte ich übrigens
> kein Problem mit
> dem gehabt, was Du geschrieben hast. Eigentlich war das
> schon korrekt,
> Du hast nur sogar zu viel gemacht (es reicht doch, dass
> [mm]M+1\,[/mm] nicht von [mm]g\,[/mm]
> erreicht wird - dass auch [mm]\min g([0,1])\,-1[/mm] von [mm]g\,[/mm] nicht
> erreicht wird, ist zwar
> eine tolle Zusatz-Beobachtung, die brauchen wir dann aber
> nicht noch
> zusätzlich).
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank Marcel für deine zusätzliche, ausführliche Antwort. Sie hat mir wieder einiges verdeutlicht und klar gemacht, was ich vorher so genau nicht bedacht hatte. Und nochmals danke für die Einschätzung meiner ersten Lösung zu Teil i). Ich bin mir immer unsicher, wie genau ich bestimmte Sachen ausführen muss. Das die Antwort so gereicht hätte freut mich natürlich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Beide Aufgaben kann man in einem Aufwasch erledigen: ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, so existieren
$m= [mm] \min \{f(x): x \in [a,b] \}$ [/mm] und $M= [mm] \max \{f(x): x \in [a,b] \}$ [/mm] ,
da [a,b] kompakt ist. Mit dem Zwischenwertsatz folgt:
$f([a,b])=[m,M]$
D.h.: $f([a,b])$ ist kompakt und zusammenhängend.
FRED
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