Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Do 31.10.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Sei f: X -> Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
f ist genau dann surjektiv, falls [mm] f(f^{-}(S))=S [/mm] für jede Teilmenge S von Y gilt. |
[mm] f(f^{-}(S))=S [/mm] ist f ° [mm] f^{-}
[/mm]
f ist surjektiv, wenn es eine Abbildung X -> Y gibt, sodass f ° [mm] f^{-} [/mm] = [mm] i_{n} [/mm] ist.
Ich weiß nicht wie ich mit der Teilmenge S von Y umgehen soll?
Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> [mm]f(f^{-}(S))=S[/mm] ist f ° [mm]f^{-}[/mm]
Was ist [mm]f^{-}[/mm]?
> f ist surjektiv, wenn es eine Abbildung X -> Y gibt, sodass
> f ° [mm]f^{-}[/mm] = [mm]i_{n}[/mm] ist.
Das stimmt zwar, ich wage aber zu bezweifeln, dass das eure Definition von Surjektivität war.
Ich denke du sollst hier viel trivialer vorgehen und das nur aus den Definitionen herleiten, die ihr bereits hattet und das ist vermutlich soetwas:
[mm] f^{-} [/mm] ist gar keine Funktion, sondern [mm] $f^{-}\left(S\right)$ [/mm] oder [mm] $f^{-1}\left(S\right)$ [/mm] ist das Urbild von S unter f.
Und f heißt surjektiv, wenn für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ein [mm] $x\in [/mm] X$ existiert, so dass $f(x) = y$
Und nun mal los.
Für die Rückrichtung empfehle ich dir mal, zu jedem [mm] $y\in [/mm] Y$ die einelementige Menge ${y} [mm] \subset [/mm] Y$ zu betrachten.
Für die Hinrichtung ist es wohl am einfachsten sich erst zu überlegen, warum [mm]f(f^{-}(S))\subset S[/mm] trivialerweise gilt und für [mm]f(f^{-}(S))\supset S[/mm] brauchst du dann die Surjektivität von f.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 31.10.2013 | | Autor: | LisaK |
Entschuldige bitte, aber ich hab nach langem Grübeln echt keine Idee wie man [mm] $f(f^{-}(S)) \subset [/mm] S$ zeigt.
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Also:
$ [mm] f(f^{-1}(S))\subset [/mm] S $ gilt immer:
Sei y [mm] \in f(f^{-1}(S)). [/mm] Dann ex. ein x [mm] \in (f^{-1}(S) [/mm] mit: y=f(x)
x [mm] \in (f^{-1}(S) [/mm] bedeutet: f(x) [mm] \in [/mm] S. Damit ist y [mm] \in [/mm] S.
Nun sei f surjektiv. Für eine Teilmenge S von Y ist zu zeigen:
$ [mm] f(f^{-1}(S))\supset [/mm] S $
dazu sei y [mm] \in [/mm] S. Da f surj. ist, gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y.
Jetzt mach Du weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 02.11.2013 | | Autor: | LisaK |
[mm] f(f^{-1}(S)) \subset [/mm] S
y [mm] \in [/mm] S und x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y
y [mm] \in f(f^{-1}(S)) [/mm] bedeutet: x [mm] \in f^{-1}(S)
[/mm]
damit ist S [mm] \subset [/mm] Y
Passt das so?
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> [mm]f(f^{-1}(S)) \subset[/mm] S
> y [mm]\in[/mm] S und x [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y
> y [mm]\in f(f^{-1}(S))[/mm] bedeutet: x [mm]\in f^{-1}(S)[/mm]
> damit ist S
> [mm]\subset[/mm] Y
>
> Passt das so?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß es so nicht paßt, siehst Du schon daran, daß Du am Ende [mm] S\subset [/mm] Y dastehen hast, was nicht so die überwältigende Erkenntnis ist, und was Du auch gar nicht zeigen wolltest.
Und was willst Du uns mit der ersten Zeile sagen?
Spendiere in Deinem Beweis ein paar mehr Worte, das schafft Klarheit für Dich und den Leser.
Textbausteine wie zB. "dann gibt es" darfst Du nicht weglassen, und wenn Du feststellst, daß es irgendwas gibt, mußt Du auch eine Begründung für die Existenz liefern.
Im "großen" Beweis zu zeigen ist die Behauptung:
[mm] f:X\to [/mm] Y [mm] \quad [/mm] ist surjektiv <==> es ist [mm] f(f^{-}(S))=S [/mm] für alle [mm] S\subseteq [/mm] Y.
Dazu ist zu zeigen:
a.
[mm] f:X\to [/mm] Y [mm] \quad [/mm] ist surjektiv ==> es ist [mm] f(f^{-}(S))=S [/mm] für alle [mm] S\subseteq [/mm] Y.
b.
es ist [mm] f(f^{-}(S))=S [/mm] für alle [mm] S\subseteq [/mm] Y ==> [mm] f:X\to [/mm] Y [mm] \quad [/mm] ist surjektiv
Beweis:
zu a.
Es sei [mm] f:X\to [/mm] Y surjektiv, und es sei [mm] S\subseteq [/mm] Y.
zu zeigen ist nun: [mm] f(f^{-}(S))=S,
[/mm]
dh. es ist zu zeigen
i. [mm] f(f^{-}(S))\subseteq [/mm] S
ii. [mm] S\subseteq f(f^{-}(S))
[/mm]
zu i. Das hat Fred für Dich erledigt.
zu ii.
Sei
> y [mm]\in[/mm] S
Weil..., gibt es ein
> x [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y
Also ist (nach Def. des Urbildes)
> x [mm]\in f^{-1}(S)[/mm]
Dann ist [mm] y=f(x)\in [/mm] ...
LG Angela
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