Surjektivität beweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebe Community! Ich brauche mal wieder ganz dringend erklärende Worte von euch.
Behauptung: Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.
Beweis: Sei [mm] R\backslash\{0\}=\{r_{1},...,r_{n}\}
[/mm]
Zeige [mm] (R\backslash\{0\},*) [/mm] ist eine Gruppe.
Dazu zu zeigen: Zu jedem [mm] r_{i} \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] existiert ein [mm] r_{j} \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] mit [mm] r_{i}*r_{j}=1_{R} \forall \in \{1,...n\}
[/mm]
Betrachte: [mm] f_{v} [/mm] : [mm] R\backslash\{0\} \to R\backslash\{0\}
[/mm]
[mm] r_{i} \mapsto r_{i}*r_{v}
[/mm]
Z.z.: [mm] f_{v} [/mm] ist bijektiv.
Warum und nicht die Gruppenaktiome?
Injektivität ist klar.
Surjektivität:
[mm] f_{v} [/mm] ist surjektiv. Da [mm] f_{v} [/mm] injektiv ist, gilt [mm] f(r_{1},...,r_{n})=\{f_{v}(r_{1}),...f_{n}(r_{n})\} \subset \{r_{1},...,r_{n}\} [/mm] hat n Elemente (Warum?) => Insbesondere Gilt: Es ex. [mm] r_{i} \in R\backslash\{0\} [/mm] s.d.
[mm] r_{i}*r_{v}=f_{v}(r_{i})=r_{1}=1
[/mm]
Kann man die Surjektivität auch anders zeigen?
Vielen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 21.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo liebe Community! Ich brauche mal wieder ganz dringend
> erklärende Worte von euch.
>
> Behauptung: Jeder endliche Integritätsring ist ein
> Körper.
>
> Beweis: Sei [mm]R\{0}={r_{1},...,r_{n}}[/mm]
>
> Zeige [mm](R\{0},*)[/mm] ist eine Gruppe.
>
> Dazu zu zeigen: Zu jedem [mm]r_{i} \in[/mm] R [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm]
> {1,...,n} existiert ein [mm]r_{j} \in[/mm] R [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,...,n}
> mit [mm]r_{i}*r_{j}=1_{R} \forall \in[/mm] {1,...n}
>
> Betrachte: [mm]f_{v}[/mm] : [mm]R\{0} \to R\{0}[/mm]
>
> [mm]r_{i} \mapsto r_{i}*r_{v}[/mm]
>
> Z.z.: [mm]f_{v}[/mm] ist bijektiv.
>
> Warum und nicht die Gruppenaktiome?
Weil der Autor alle GruppeaXiome bis auf die Invertierbarkeit von Elementen für offensichtich erfüllt hält. Es ist eine gute Übung, wenn Du Dir klarmachst, dass die anderen Axiome tatsächlich erfüllt sind.
>
> Injektivität ist klar.
>
> Surjektivität:
>
> [mm]f_{v}[/mm] ist surjektiv. Da [mm]f_{v}[/mm] injektiv ist, gilt
> [mm]f(r_{1},...,r_{n}) ={f_{v}(r_{1}),...f_{n}(r_{n})} \subset {r_{1},...,r_{n}}[/mm]
> hat n Elemente (Warum?) =>
Eine injektive Funktion bildet unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Bilder ab.
> Insbesondere Gilt: Es ex. [mm]r_{i} \in R\{0}[/mm]
> s.d.
>
> [mm]r_{i}*r_{v}=f_{v}(r_{i})=r_{1}=1[/mm]
>
> Kann man die Surjektivität auch anders zeigen?
Sicher kann man das auch anders machen: wie lautet Deine Idee?
>
> Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
[mm] f_{v}:R\{0} \to R\{0}
[/mm]
[mm] r_{i} \mapsto r_{i}\cdot{}r_{v}
[/mm]
Sei [mm] r_{i} \in R\{0} [/mm] und y [mm] \in R\{0} [/mm] mit [mm] f_{v}(r_{i})=y. [/mm] Da [mm] f_{v}(r_{i})=r_{i}\cdot{}r_{v} [/mm] gilt [mm] y=r_{i}*r_{v}
[/mm]
Nun nach [mm] r_{i} [/mm] umstellen:
[mm] y=r_{i}*{}r_{v}
[/mm]
<=> [mm] y=r_{i}*r_{v}
[/mm]
<=> [mm] y/r_{v}=r_{i}
[/mm]
Probe: [mm] f(r_{i})=f(y/r_{v})=y/r_{v}*r_{v}=y
[/mm]
Also jedes Element aus dem Urbild , bildet auf ein Element aus dem Bild ab.
Das Gilt ja für den Fall, dass [mm] r_{v}=0 [/mm] ist. Muss ich jetzt auch noch den Fall [mm] \not= [/mm] 0 betrachteten?
PS: Quatsch ich muss mich korrigieren. Es gilt hier ja die Nullteilerfreiheit, weshalb es vollkommen legitim ist, durch [mm] r_{v} [/mm] zu teilen.
LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Do 22.09.2016 | | Autor: | hippias |
> [mm]f_{v}:R\{0} \to R\{0}[/mm]
>
> [mm]r_{i} \mapsto r_{i}\cdot{}r_{v}[/mm]
>
> Sei [mm]r_{i} \in R\{0}[/mm] und y [mm]\in R\{0}[/mm] mit [mm]f_{v}(r_{i})=y.[/mm] Da
> [mm]f_{v}(r_{i})=r_{i}\cdot{}r_{v}[/mm] gilt [mm]y=r_{i}*r_{v}[/mm]
>
> Nun nach [mm]r_{i}[/mm] umstellen:
>
> [mm]y=r_{i}*{}r_{v}[/mm]
>
> <=> [mm]y=r_{i}*r_{v}[/mm]
>
> <=> [mm]y/r_{v}=r_{i}[/mm]
>
> Probe: [mm]f(r_{i})=f(y/r_{v})=y/r_{v}*r_{v}=y[/mm]
>
> Also jedes Element aus dem Urbild , bildet auf ein Element
> aus dem Bild ab.
>
> Das Gilt ja für den Fall, dass [mm]r_{v}=0[/mm] ist. Muss ich jetzt
> auch noch den Fall [mm]\not=[/mm] 0 betrachteten?
>
> PS: Quatsch ich muss mich korrigieren. Es gilt hier ja die
> Nullteilerfreiheit, weshalb es vollkommen legitim ist,
> durch [mm]r_{v}[/mm] zu teilen.
Damit wäre gezeigt: wenn $y$ im Bild von [mm] $f_{v}$ [/mm] liegt, dann ist das Urbild eindeutig bestimmt; das impliziert aber die Injektivität, jedoch nicht die Surjektivität: dass ein Darstellung $y= [mm] rr_{v}$ [/mm] möglich ist, wäre ja ersteinmal zu beweisen. Im übrigen kannst Du nicht ohne weiteres in einem Integritätsbreich dividieren, dazu bedarf es schon der Invertierbarkeit, die Du erst beweisen musst.
>
> LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
Warum kann man mit dieser Methode nicht die Surjektivität zeigen. In einem Mathebuch habe ich letztens gesehen, dass man das auch so zeigen kann. wegen der Invertierbarkeit ist klar.
LG DerPinguinagent
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 22.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ich habe alles gesagt, was dazu zu sagen ist. Du kannst den Beweis aus dem Buch ja einmal hier hereinstellen.
Zur weiteren Verdeutlichung übertrage ich Dein Argument auf eine andere Situation: [mm] $f:\IR\to \IR$ [/mm] mit $f(x)= [mm] x^{2}$ [/mm] ist surjektiv.
"Beweis": Sei [mm] $x\in\IR$ [/mm] und $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(x)=y$. Da [mm] $f(x)=x^{2}$ [/mm] gilt [mm] $y=x^{2}$. [/mm] Wurzeln liefert $x= [mm] \sqrt{y}$.
[/mm]
Probe: etc.
Trotzdem ist $f$ nicht surjektiv, weil [mm] $-1\not\in [/mm] Bild(f)$. Das Problem ist, dass ich hier davon ausgegangen bin, dass $y$ ein Quadrat ist, bei Dir ist das Problem, dass davon ausgegangen wird, dass $y$ durch [mm] $r_{v}$ [/mm] teilbar ist.
|
|
|
| |
|
Mir ist aufgefallen, das ein Teil in dem ersten Text fehlt, und zwar:
[mm] =>{f_{v}(r_{1}),...f_{n}(r_{n})} [/mm] = [mm] {r_{1},...,r_{n}}
[/mm]
Aber warum ist das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 22.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Mir ist aufgefallen, das ein Teil in dem ersten Text fehlt,
> und zwar:
>
> [mm]=>{f_{v}(r_{1}),...f_{n}(r_{n})}[/mm] = [mm]{r_{1},...,r_{n}}[/mm]
>
> Aber warum ist das so?
Siehe die erste Antwort:
[mm] ${f_{v}(r_{1}),...f_{n}(r_{n})}$ [/mm] ist eine $n$-elementige Teilmenge der $n$-elementigen Menge [mm] ${r_{1},...,r_{n}}$
[/mm]
|
|
|
|
