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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:49 Fr 28.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei A eine endliche abelsche Gruppe und [mm] \hat{A} [/mm] die zugehörige duale Gruppe, d.h. die Menge aller Charaktere von A.
Seien [mm] l^2(A) [/mm] und [mm] l^2(\hat{A}) [/mm] die zugehörigen Hilberträume, die insbesondere mit [mm] \IC^{A} [/mm] bzw. [mm] \IC^{\hat{A}} [/mm] übereinstimmen.
Zudem ist [mm] \langle{g},h\rangle=\langle{\hat{g}},\hat{h}\rangle [/mm] für alle [mm] g,h\in{l^2(A)}.
[/mm]
Sei nun [mm] \Phi:l^2(A)\rightarrow{l^2(\hat{A})} [/mm] mit [mm] f\mapsto{\hat{f}} [/mm] ein Monomomorphismus.
Weisen Sie die Surjektivität des Monomorphismus nach. |
Tag Leute,
ich hatte die Aufgabe ja schon mal drin, hab inzwischen aber von meinem Prof. noch an Tipp dazu bekommen.
Er meinte ich würde die Surjektivität bekommen, wenn ich hierbei die Abbildung [mm] l^2(A)\rightarrow{l^2(\hat{\hat{A}})} [/mm] mit [mm] f\mapsto{\hat{\hat{f}}} [/mm] verwende, genauer gesagt
die Gleichung [mm] \hat{\hat{f}}(\delta_a)=f(a^{-1}), [/mm] wobei [mm] \delta_a:\hat{A}\rightarrow{\mathbb{T}} [/mm] mit [mm] \mathcal{X}\mapsto{\mathcal{X}(a)} [/mm] für jeden Charakter [mm] \mathcal{X}\in{\hat{A}}.
[/mm]
Also ich muss mir ja jetzt daraus für ein beliebiges [mm] \hat{f}\in{l^2(\hat{A})} [/mm] ein [mm] g\in{l^2(A)} [/mm] basteln, sodass [mm] \Phi(g)=\hat{f}.
[/mm]
Da sitz ich jetz aber schon ne ganze Weile dran und kriegs dennoch nicht hin.
[mm] \text{Zuletzt war meine Idee, ich setze einfach }g(a):=\hat{\hat{f}}(\delta_{a^{-1}})\text{, d.h. }\Phi(g(a))=\Phi(\hat{\hat{f(\delta_{a^{-1}}}}))=\Phi(f(a))=\hat{f}(a)\text{, aber das sieht mir irgendwie nach Blödsinn aus.}
[/mm]
Deswegen wende ich mich hoffnungsvoll an Euch! Wär also echt klasse, wenn jemand helfen könnt.
Danke vorab schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Sa 29.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielleicht hilft es ja zu wissen, dass die Gleichung, die ich hierbei verwenden soll sozusagen das Pendant
zur Umkehrformel [mm] \hat{\hat{f}}(y)=f(-y) [/mm] ist, nur hier eben für den Fall endlicher abelscher Gruppen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Sa 29.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hat denn wirklich niemand ne Idee dazu? Wär echt nett, wenn jemand noch an Tipp geben könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 So 30.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Könnte mir zumindest jemand sagen, an was es liegt bzw. liegen kann, dass sich niemand an die Aufgabe ranwagt. Das wäre nett, denn es hat ja keinen Sinn, wenn ich die Frage ein drittes Mal einstelle und ich nicht weiß woran es liegt, dass niemand antwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 30.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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